Question Number 22260 by Bruce Lee last updated on 14/Oct/17
$$\mathrm{8}^{\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{for}}\:\boldsymbol{{x}} \\ $$$$\boldsymbol{{Any}}\:\boldsymbol{{idea}}? \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 15/Oct/17
![8^(x−1) =((4−3x)/4) 2^(3x−3) =−((3x−4)/4) 2×2^(3x−4) =−((3x−4)/4) 2^(3x−4) =−((3x−4)/8) let t=3x−4 ⇒2^t =−(t/8) ⇒e^(tln 2) =−(t/8) ⇒((−te^(−tln 2) )/8)=1 ⇒((−tln 2e^(−tln 2) )/(8ln 2))=1 ⇒(−tln 2)e^((−tln 2)) =8ln 2 ⇒−tln 2=W(8ln 2) ⇒t=−((W(8ln 2))/(ln 2))=3x−4 ⇒x=(1/3)[4−((W(8ln 2))/(ln 2))]=(1/3)[4−2]=(2/3) this method works for any other values: a^(x−1) +bx=c ⇒a^(x−1) =−b(x−(c/b)) ⇒a^(x−(c/b)+(c/b)−1) =−b(x−(c/b)) ⇒a^((c/b)−1) ×a^(x−(c/b)) =−b(x−(c/b)) ⇒a^((c/b)−1) ×e^((x−(c/b))ln a) =−b(x−(c/b)) ⇒a^((c/b)−1) =−b(x−(c/b))e^(−(x−(c/b))ln a) ⇒((a^((c/b)−1) ln a)/b)=[−(x−(c/b))ln a]e^(−(x−(c/b))ln a) ⇒−(x−(c/b))ln a=W(((a^((c/b)−1) ln a)/b)) ⇒x=(c/b)−((W(((a^((c/b)−1) ln a)/b)))/(ln a))](Q22280.png)
$$\mathrm{8}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{4}−\mathrm{3x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{3x}−\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{t}=\mathrm{3x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{t}} =−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{−\mathrm{te}^{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2e}^{−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}} }{\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}\right)} =\mathrm{8ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{tln}\:\mathrm{2}=\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{t}=−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{3x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{4}−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{4}−\mathrm{2}\right]=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{works}\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{other}\:\mathrm{values}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{bx}=\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} ×\mathrm{a}^{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} ×\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\left[−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\right]\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{a}=\mathbb{W}\left(\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\frac{\mathbb{W}\left(\frac{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 15/Oct/17
$$\mathrm{8}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{8}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{4}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{try}\:\mathrm{with}\:\mathrm{3x}=\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{ok} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3x}=\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{works}\:\mathrm{only}\:\mathrm{in}\:\mathrm{very} \\ $$$$\mathrm{special}\:\mathrm{cases}. \\ $$