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Question Number 23 by user1 last updated on 25/Jan/15

Sum the series Σ_(n=0) ^∞ P_r (n)(x^n /(n!)) , where P_r (n) is a polynomial of degree r in n.

$$\mathrm{Sum}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series}\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\boldsymbol{\mathrm{P}}_{{r}} \left({n}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:,\:\mathrm{where}\:\boldsymbol{\mathrm{P}}_{{r}} \left({n}\right)\: \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{of}\:\mathrm{degree}\:{r}\:\mathrm{in}\:{n}. \\ $$

Answered by user1 last updated on 31/Oct/14

P_r (n)=a_0 +a_1 n+a_2 n(n−1)+....+a_r n(n−1)...(n−r+1), Σ_(n=0) ^∞ P_r (n)(x^n /(n!))=a_0 Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+a_1 Σ_(n=1) ^∞ (x^n /((n−1)!)) +a_2 Σ_(n=2) ^∞ (x^n /((n−2)!))+....a_r Σ_(n=r) ^∞ (x^n /((n−r)!)) =a_0 Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+a_1 xΣ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /((n−1)!))+a_2 xΣ_(n=2) ^∞ (x^(n−2) /((n−2)!))+... ...+a_r x^r Σ_(n=r) ^∞ (x^(n−r) /((n−r)!)) (a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_r x^r )e^x

$$\mathrm{P}_{{r}} \left({n}\right)={a}_{\mathrm{0}} +{a}_{\mathrm{1}} {n}+{a}_{\mathrm{2}} {n}\left({n}−\mathrm{1}\right)+....+{a}_{{r}} {n}\left({n}−\mathrm{1}\right)...\left({n}−{r}+\mathrm{1}\right),\:\:\:\:\: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{P}_{{r}} \left({n}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}={a}_{\mathrm{0}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+{a}_{\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+{a}_{\mathrm{2}} \underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+....{a}_{{r}} \underset{{n}={r}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−{r}\right)!} \\ $$$$={a}_{\mathrm{0}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+{a}_{\mathrm{1}} {x}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+{a}_{\mathrm{2}} {x}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...+{a}_{{r}} {x}^{{r}} \underset{{n}={r}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−{r}} }{\left({n}−{r}\right)!} \\ $$$$\left({a}_{\mathrm{0}} +{a}_{\mathrm{1}} {x}+{a}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +...+{a}_{{r}} {x}^{{r}} \right){e}^{{x}} \\ $$

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