Question Number 23269 by Rasheed.Sindhi last updated on 28/Oct/17
$$\mathbb{P}\mathrm{rove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\mathrm{3k}+\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{k}\in\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},...\right\}. \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 28/Oct/17
$${Any}\:{number}\:{can}\:{be}\:{written}\:{as}\:\mathrm{3}{p}, \\ $$$$\mathrm{3}{p}+\mathrm{1}\:{and}\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{2}. \\ $$$${If}\:{it}\:{is}\:\mathrm{3}{p},\:{it}'{s}\:{square}=\mathrm{9}{p}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{k}\:{form} \\ $$$${If}\:{it}\:{is}\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{1},\:{it}'{s}\:{square}=\mathrm{9}{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{p}+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\:{form} \\ $$$${If}\:{it}\:{is}\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{2},\:{it}'{s}\:{square}=\mathrm{9}{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{p}+\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\:{form} \\ $$$${Hence}\:{a}\:{square}\:{cannot}\:{be}\:{in}\:\mathrm{3}{k}+\mathrm{2} \\ $$$${form}. \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 28/Oct/17
$$\mathbb{T}\mathrm{han}\mathcal{X}\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot}\:\mathrm{sir}! \\ $$