Question Number 25085 by Tinkutara last updated on 03/Dec/17
$${If}\:{a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:{for}\:{every}\:{positive} \\ $$$${integer}\:{greater}\:{than}\:\mathrm{1},\:{then}\:{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$+...{a}_{\mathrm{100}} \:{equals} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{5000}\:.\:{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{5050}\:.\:{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{5051}\:.\:{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{5052}\:.\:{a}_{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 03/Dec/17
$$ \\ $$$$\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}{a}_{{r}} ={a}_{\mathrm{1}} +\left({a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)+\left({a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+.... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...+\left({a}_{\mathrm{99}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:={a}_{\mathrm{1}} +\left({a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)+\left({a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}\right)+\left({a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)+.. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:....+\left({a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{99}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{100}{a}_{\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{99}×\mathrm{100}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\mathrm{100}\left({a}_{\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{99}}{\mathrm{2}}\right). \\ $$$${but}\:{if}\:{it}\:{were}\:{given}\:{that} \\ $$$${a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} ={a}_{\mathrm{1}} \:\: \\ $$$$\Rightarrow\:\:{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} ,\:\:\:{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{a}_{\mathrm{1}} ,\:....{and}\:{so}\:{on} \\ $$$${then}\:\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}{a}_{{r}} \:={a}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+...\mathrm{100}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\frac{\mathrm{100}×\mathrm{101}}{\mathrm{2}}\right){a}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{5050}{a}_{\mathrm{1}} \:. \\ $$$${option}\:\left(\mathrm{2}\right)\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 03/Dec/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir}! \\ $$