Question Number 25230 by naka3546 last updated on 06/Dec/17
$${Let}\:\:{X}\:\:{is}\:{natural}\:\:{number}\:. \\ $$$${Multification}\:\:{of}\:\:{its}\:\:{digits}\:\:{is}\:\:{X}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{97}{X}\:+\:\mathrm{2020}\:. \\ $$$${Find}\:\:{the}\:\:{value}\:\:{of}\:\:{X}_{{maximum}} \:\:+\:\:{X}_{{minimum}} \:\:. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17
![Let X=(x_(n-1) x_(n-2) ...x_1 x_0 )_(10) , where x_(n-1) , x_(n-2) ,...,x_2 ,x_1 are decimal digits. X=x_(n-1) (10)^(n-1) +x_(n-2) (10)^(n-2) +...x_1 (10)^1 +x_0 x_(n-1) .x_(n-2) ...x_1 .x_0 =X^2 − 97X + 2020 An n-digit number_(max) =99...9^(n nines) So X^2 −97X+2020^(multiplication of digis) ≤9^n For 1-digit X^2 −97X+2020≤9 X≤66,X≤30⇒X≤66 The number is upto 2digit For 2-digit X^2 −97X+2020≤81 X≤28, X≤68⇒X≤68...(i) The number is upto 2digit. For 3-digit X^2 −97X+2020≤729 X≤15,X≤81⇒X≤81 The number cannot be 3digit. For 4-digit X^2 −97X+2020≤6561 X≤−34,X≤131⇒X≤131 The number cannot be 4digit. ...... .... .. It seems that the number cannot consist of more than 2-digit. If X is two digit number. Let the number is 10a+b ab=(10a+b)^2 −97(10a+b)+2020 ⇒100a^2 +19ab+b^2 −970a−97b+2020=0...(ii) Also from (i) 10a+b≤68⇒1≤a≤6 ∧ 0≤b≤8 a=1⇒ (ii)⇒100+19b+b^2 −970−97b+2020=0 b^2 −78b+1150=0 [No integer b] a=1,2,3,4,5 ⇒value of b is inadmissble But for a=6⇒ (ii)⇒3600+114b+b^2 −5820−97b+2020=0 b^2 +17b−200=0⇒b=8 Hence the single 2-digit number is 68 Verify that 6×8=68^2 −97(68)+2020 X_(max) +X_(min) =68+68=136](Q25232.png)
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{X}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{2}} ...\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)_{\mathrm{10}} ,\:\mathrm{where}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{1}} , \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{2}} ,...,\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{are}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{digits}. \\ $$$$\mathrm{X}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{1}} \left(\mathrm{10}\right)^{\mathrm{n}-\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{2}} \left(\mathrm{10}\right)^{\mathrm{n}-\mathrm{2}} +...\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{10}\right)^{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{1}} .\mathrm{x}_{\mathrm{n}-\mathrm{2}} ...\mathrm{x}_{\mathrm{1}} .\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ={X}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{97}{X}\:+\:\mathrm{2020} \\ $$$$\mathrm{An}\:\mathrm{n}-\mathrm{digit}\:\mathrm{number}_{\mathrm{max}} =\overset{\mathrm{n}\:\mathrm{nines}} {\mathrm{99}...\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{So}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\overset{\mathrm{multiplication}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digis}} {\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}}\leqslant\mathrm{9}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{1}-\mathrm{digit}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}\leqslant\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}\leqslant\mathrm{66},\mathrm{X}\leqslant\mathrm{30}\Rightarrow\mathrm{X}\leqslant\mathrm{66} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{upto}\:\mathrm{2digit}\: \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{2}-\mathrm{digit}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}\leqslant\mathrm{81} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}\leqslant\mathrm{28},\:\mathrm{X}\leqslant\mathrm{68}\Rightarrow\mathrm{X}\leqslant\mathrm{68}...\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{upto}\:\mathrm{2digit}. \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{3}-\mathrm{digit}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}\leqslant\mathrm{729} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}\leqslant\mathrm{15},\mathrm{X}\leqslant\mathrm{81}\Rightarrow\mathrm{X}\leqslant\mathrm{81} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{3digit}. \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{4}-\mathrm{digit}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}\leqslant\mathrm{6561} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}\leqslant−\mathrm{34},\mathrm{X}\leqslant\mathrm{131}\Rightarrow\mathrm{X}\leqslant\mathrm{131} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{4digit}. \\ $$$$...... \\ $$$$.... \\ $$$$.. \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{seems}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{cannot} \\ $$$$\mathrm{consist}\:\mathrm{of}\:\mathrm{more}\:\mathrm{than}\:\mathrm{2}-\mathrm{digit}. \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{X}\:\mathrm{is}\:\mathrm{two}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{number}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{10a}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{ab}=\left(\mathrm{10a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{97}\left(\mathrm{10a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{2020} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{100a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{970a}−\mathrm{97b}+\mathrm{2020}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\mathrm{Also}\:\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\: \\ $$$$\mathrm{10a}+\mathrm{b}\leqslant\mathrm{68}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{a}\leqslant\mathrm{6}\:\wedge\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{b}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{100}+\mathrm{19b}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{970}−\mathrm{97b}+\mathrm{2020}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{78b}+\mathrm{1150}=\mathrm{0}\:\left[\mathrm{No}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{b}\right] \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{inadmissble} \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}=\mathrm{6}\Rightarrow \\ $$$$\:\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{3600}+\mathrm{114b}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5820}−\mathrm{97b}+\mathrm{2020}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{17b}−\mathrm{200}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{single}\:\mathrm{2}-\mathrm{digit}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{68} \\ $$$$\mathrm{Verify}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{6}×\mathrm{8}=\mathrm{68}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97}\left(\mathrm{68}\right)+\mathrm{2020} \\ $$$$\mathrm{X}_{\mathrm{max}} +\mathrm{X}_{\mathrm{min}} =\mathrm{68}+\mathrm{68}=\mathrm{136} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17
$$\:^{\bullet} \mathrm{Sir}\:\mathrm{mrW1} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Thank}\mathcal{S}}{sss}\:\mathrm{for}\:\mathrm{correction}. \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Mr}.\:\mathrm{naka}, \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{such}\:\mathrm{number} \\ $$$$\:\:\mathrm{X}=\mathrm{68}\: \\ $$$$\mathrm{6}×\mathrm{8}=\mathrm{68}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97}\left(\mathrm{68}\right)+\mathrm{2020} \\ $$$$?\:\:\:\mathrm{please}\:\mathrm{confirm}\:\mathrm{this}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{will}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{complete}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer} \\ $$$$\mathrm{after}\:\mathrm{your}\:\mathrm{confirmation}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 07/Dec/17
$${sir},\:{please}\:{check}: \\ $$$${for}\:{n}−{digit}\:{numbers}\: \\ $$$$\mathrm{So}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\overset{\mathrm{multiplication}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digis}} {\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{97X}+\mathrm{2020}}\leqslant\mathrm{9}^{{n}} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 07/Dec/17
$${great}\:{work}! \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17
$$\mathcal{THANKS}\:{a}\:\mathcal{LOT}\:\:\mathcal{S}{ir}! \\ $$