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Question Number 25230 by naka3546 last updated on 06/Dec/17

$$LetXisnaturalnumber.$$$$Multificationofitsdigitsis{X}^2-97X+2020.$$$$Findthevalueof{X}_{maximum}+X_{minimum}.$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17

$$\mathrm{Let}\mathrm{X}={({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-2}...{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_0)}_{10},\mathrm{where}{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1},$$$${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-2},...,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_1\mathrm{are}\mathrm{decimal}\mathrm{digits}.$$$$\mathrm{X}={\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1}{\left(10\right)}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-2}{\left(10\right)}^{\mathrm{n}-2}+...{\mathrm{x}}_1{\left(10\right)}^1+{\mathrm{x}}_0$$$${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-1}.{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}-2}...{\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_0=X^2-97X+2020$$$$\mathrm{An}\mathrm{n}-\mathrm{digit}{\mathrm{number}}_{\max }=\stackrel{\mathrm{n}\mathrm{nines}}{99...9}$$$$\mathrm{So}\stackrel{\mathrm{multiplication}\mathrm{of}\mathrm{digis}}{{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020}⩽9^{\mathrm{n}}$$$$\mathrm{For}1-\mathrm{digit}{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020⩽9$$$$\mathrm{X}⩽66,\mathrm{X}⩽30\Rightarrow \mathrm{X}⩽66$$$$\mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{upto}2\mathrm{digit}$$$$\mathrm{For}2-\mathrm{digit}{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020⩽81$$$$\mathrm{X}⩽28,\mathrm{X}⩽68\Rightarrow \mathrm{X}⩽68...\left(\mathrm{i}\right)$$$$\mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{upto}2\mathrm{digit}.$$$$\mathrm{For}3-\mathrm{digit}{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020⩽729$$$$\mathrm{X}⩽15,\mathrm{X}⩽81\Rightarrow \mathrm{X}⩽81$$$$\mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{cannot}\mathrm{be}3\mathrm{digit}.$$$$\mathrm{For}4-\mathrm{digit}{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020⩽6561$$$$\mathrm{X}⩽-34,\mathrm{X}⩽131\Rightarrow \mathrm{X}⩽131$$$$\mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{cannot}\mathrm{be}4\mathrm{digit}.$$$$......$$$$....$$$$..$$$$\mathrm{It}\mathrm{seems}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{cannot}$$$$\mathrm{consist}\mathrm{of}\mathrm{more}\mathrm{than}2-\mathrm{digit}.$$$$\mathrm{If}\mathrm{X}\mathrm{is}\mathrm{two}\mathrm{digit}\mathrm{number}.$$$$\mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{is}10\mathrm{a}+\mathrm{b}$$$$\mathrm{ab}={(10\mathrm{a}+\mathrm{b})}^2-97(10\mathrm{a}+\mathrm{b})+2020$$$$\Rightarrow {100\mathrm{a}}^2+19\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2-970\mathrm{a}-97\mathrm{b}+2020=0...\left(\mathrm{ii}\right)$$$$\mathrm{Also}\mathrm{from}\left(\mathrm{i}\right)$$$$10\mathrm{a}+\mathrm{b}⩽68\Rightarrow 1⩽\mathrm{a}⩽6\wedge 0⩽\mathrm{b}⩽8$$$$\mathrm{a}=1\Rightarrow$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow 100+19\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2-970-97\mathrm{b}+2020=0$$$${\mathrm{b}}^2-78\mathrm{b}+1150=0\left[\mathrm{No}\mathrm{integer}\mathrm{b}\right]$$$$\mathrm{a}=1,2,3,4,5\Rightarrow \mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{b}\mathrm{is}\mathrm{inadmissble}$$$$\mathrm{But}\mathrm{for}\mathrm{a}=6\Rightarrow$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow 3600+114\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2-5820-97\mathrm{b}+2020=0$$$${\mathrm{b}}^2+17\mathrm{b}-200=0\Rightarrow \mathrm{b}=8$$$$\mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{single}2-\mathrm{digit}\mathrm{number}\mathrm{is}68$$$$\mathrm{Verify}\mathrm{that}$$$$6\times 8={68}^2-97\left(68\right)+2020$$$${\mathrm{X}}_{\max }+{\mathrm{X}}_{\min }=68+68=136$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17

$${}^{\bullet }\mathrm{Sir}\mathrm{mrW}1$$$$\mathbf{Thank}\mathcal{S}sss\mathrm{for}\mathrm{correction}.$$$${}^{\bullet }\mathrm{Mr}.\mathrm{naka},$$$$\mathrm{I}\mathrm{think}{\mathrm{there}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{only}\mathrm{one}\mathrm{such}\mathrm{number}$$$$\mathrm{X}=68$$$$6\times 8={68}^2-97\left(68\right)+2020$$$$?\mathrm{please}\mathrm{confirm}\mathrm{this}.$$$$\mathrm{I}\mathrm{will}\mathrm{try}\mathrm{to}\mathrm{complete}\mathrm{my}\mathrm{answer}$$$$\mathrm{after}\mathrm{your}\mathrm{confirmation}.$$

Commented by mrW1 last updated on 07/Dec/17

$$sir,pleasecheck:$$$$forn-digitnumbers$$$$\mathrm{So}\stackrel{\mathrm{multiplication}\mathrm{of}\mathrm{digis}}{{\mathrm{X}}^2-97\mathrm{X}+2020}⩽9^n$$

Commented by mrW1 last updated on 07/Dec/17

$$greatwork!$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/17

$$\mathcal{THANKS}a\mathcal{LOT}\mathcal{S}ir!$$

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