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Question Number 25237 by Mr eaay last updated on 06/Dec/17
$${prooove}\:{that}\:\mathrm{0}!=\mathrm{1} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Dec/17
$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{notation}\:\mathrm{simplication} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{defines}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{products} \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{1}. \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} \centerdot{a}_{\mathrm{2}} \centerdot{a}_{\mathrm{3}} .\ldots{a}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}{P}_{{n}} \\ $$$${P}_{{n}} ={n}\centerdot{P}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{above}\:\mathrm{notation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{define}\:{P}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}. \\ $$$${x}^{{n}} ={x}\centerdot{x}\centerdot\ldots{x}\:\left({n}\:{times}\right) \\ $$$${x}^{{n}} ={x}\centerdot{x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${x}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{product}=\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{can}\:\mathrm{also}\:\mathrm{be}\:\mathrm{seen}\:\mathrm{as}\:\frac{{x}^{{n}} }{{x}^{{n}} }={x}^{{n}−{n}} ={x}^{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$${n}!={n}\centerdot\left({n}−\mathrm{1}\right)! \\ $$$$\mathrm{1}!=\mathrm{1}.\mathrm{0}!\: \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{have}\:\mathrm{this}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{true}\:\mathrm{0}!=\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{All}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{products}\:\mathrm{evalute}\:\mathrm{to}\:\mathrm{1}.\:\mathrm{0}! \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{product}\:\mathrm{which}\:\mathrm{evaluates} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{1}. \\ $$