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Question Number 25444 by math solver last updated on 10/Dec/17

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Dec/17

z^� +1=iz^2 +∣z∣^2 z=x+iy⇒x+iy^(−) +1=i(x+iy)^2 +∣x+iy∣ x−iy+1=i(x^2 -y^2 +2ixy)+x^2 +y^2 x−iy+1=i(x^2 -y^2 )-2xy+x^2 +y^2 x+1=x^2 +y^2 -2xy { ((x+1=x^2 +y^2 -2xy)),((-y=x^2 -y^2 )) :} { ((x+1=(x−y)^2 ..................I)),((-y=(x-y)(x+y)..............II)) :} II/I: ((−y)/(x+1))=((x+y)/(x−y)) −xy+y^2 =x^2 +xy+x+y x^2 +2xy−y^2 +x+y=0 I+II: x−y+1=(x−y)^2 +(x−y)(x+y) (x−y)−(x−y)^2 −(x−y)(x+y)+1=0 (x−y){1−(x−y)−(x+y)}+1=0 (x−y){1−x+y−x−y)}+1=0 (x−y)(1−2x)+1=0.............III I−II: x+y+1=(x−y)^2 −(x−y)(x+y) =(x−y){(x−y)−(x+y)} =(x−y)(−2y) (x−y)(−2y)=x+y+1....IV III/IV :(((x−y)(1−2x)+1)/((x−y)(−2y)))=(0/(x+y+1)) (((x−y)(1−2x)+1)/((x−y)(−2y)))=0 (x+y+1≠0) (((1−2x)+1)/((−2y)))=0 (x≠y) Suppose x≠y ∧ y≠0 (1−2x)+1=0 (y≠0 x=1 II∧ (x=1):-y=(x-y)(x+y) -y=(1-y)(y+1) y^2 +y−1=0 y=((−1±(√(1+4)))/2) y=((−1±(√5))/2) ⋮

$$\bar {\mathrm{z}}+\mathrm{1}=\mathrm{iz}^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{z}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}\Rightarrow\overline {\mathrm{x}+\mathrm{iy}}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}\mid \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{iy}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ixy}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{iy}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)-\mathrm{2xy}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} -\mathrm{2xy} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} -\mathrm{2xy}}\\{-\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} ..................\mathrm{I}}\\{-\mathrm{y}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)..............\mathrm{II}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{II}/\mathrm{I}:\:\:\frac{−\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{x}−\mathrm{y}} \\ $$$$\:\:\:−\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{I}+\mathrm{II}:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left\{\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right\}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left\{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\right\}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0}.............\mathrm{III} \\ $$$$\mathrm{I}−\mathrm{II}:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{2y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{2y}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}....\mathrm{IV} \\ $$$$\mathrm{III}/\mathrm{IV}\::\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{2y}\right)}=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{2y}\right)}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{2y}\right)}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\:\mathrm{x}\neq\mathrm{y}\:\wedge\:\mathrm{y}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{y}\neq\mathrm{0}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{II}\wedge\:\left(\mathrm{x}=\mathrm{1}\right):-\mathrm{y}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\mathrm{y}=\left(\mathrm{1}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\vdots \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Dec/17

Please check my question for mistakes

$$\mathrm{Please}\:\mathrm{check}\:\mathrm{my}\:\mathrm{question}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{mistakes} \\ $$

Commented by prakash jain last updated on 11/Dec/17

z=x+iy z^� +1=iz^2 +∣z∣^2 z=re^(iθ) re^(−iθ) +1=ir^2 e^(2iθ) +r^2 1−r^2 =r^2 e^(i(2θ+(π/2))) −re^(−iθ) r^2 sin (2θ+(π/2))+rsin θ=0 rcos 2θ+sin θ=0 (imaginary part) sin θ=−rcos 2θ r=−((sin θ)/(cos 2θ)) 1−r^2 =−rcos θ−r^2 sin 2θ (real part) 1−((sin^2 θ)/(cos^2 2θ))=+((sin θcos θ)/(cos 2θ))−((sin^2 θsin 2θ)/(cos^2 2θ)) 1−((1−cos 2θ)/(2cos^2 2θ))=+((sin 2θ)/(2cos 2θ))−(((1−cos 2θ)sin 2θ)/(2cos^2 2θ)) 2cos^2 2θ−1+cos 2θ=2sin 2θcos 2θ−sin 2θ cos 4θ−sin 4θ=−sin 2θ−cos 2θ cos (4θ+(π/4))=−cos (2θ−(π/4)) θ=(π/2),−(π/6),((7π)/6) (after removing value which give r −ve or ∞) r=−((sin θ)/(cos 2θ))=1 final solution z=i z=((√3)/2)−(i/2) z=−((√3)/2)−(i/2)

$${z}={x}+{iy} \\ $$$$\bar {{z}}+\mathrm{1}={iz}^{\mathrm{2}} +\mid{z}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$${z}={re}^{{i}\theta} \\ $$$${re}^{−{i}\theta} +\mathrm{1}={ir}^{\mathrm{2}} {e}^{\mathrm{2}{i}\theta} +{r}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}−{r}^{\mathrm{2}} ={r}^{\mathrm{2}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}\theta+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)} −{re}^{−{i}\theta} \\ $$$${r}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\theta+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)+{r}\mathrm{sin}\:\theta=\mathrm{0} \\ $$$${r}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta+\mathrm{sin}\:\theta=\mathrm{0}\:\left({imaginary}\:{part}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\:\theta=−{r}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta \\ $$$${r}=−\frac{\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta} \\ $$$$\mathrm{1}−{r}^{\mathrm{2}} =−{r}\mathrm{cos}\:\theta−{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta\:\left({real}\:{part}\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta}=+\frac{\mathrm{sin}\:\theta\mathrm{cos}\:\theta}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta}−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta} \\ $$$$\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta}=+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}\theta}−\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta} \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta−\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta=\mathrm{2sin}\:\mathrm{2}\theta\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{4}\theta−\mathrm{sin}\:\mathrm{4}\theta=−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}\theta+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}\theta−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\theta=\frac{\pi}{\mathrm{2}},−\frac{\pi}{\mathrm{6}},\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\left({after}\:{removing}\:{value}\:{which}\right. \\ $$$$\left.{give}\:{r}\:−{ve}\:{or}\:\infty\right) \\ $$$${r}=−\frac{\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta}=\mathrm{1} \\ $$$${final}\:{solution} \\ $$$${z}={i} \\ $$$${z}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\frac{{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$${z}=−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\frac{{i}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by jota@ last updated on 11/Dec/17

(x−y)^2 −x−1=0 x^2 −y^2 +y=0 by inspection x=0 and y=1 z=i

$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{y}^{\mathrm{2}} +{y}=\mathrm{0} \\ $$$${by}\:{inspection} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:{and}\:{y}=\mathrm{1} \\ $$$${z}={i} \\ $$

Commented by prakash jain last updated on 11/Dec/17

z=i is one of the solution. There are 2 other solutions.

$${z}={i}\:\mathrm{is}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}.\:\mathrm{There} \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{2}\:\mathrm{other}\:\mathrm{solutions}. \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 12/Dec/17

Great Sir! Is it not possible to solve the question by only using x+iy?

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{Sir}! \\ $$$$\mathrm{Is}\:\mathrm{it}\:\mathrm{not}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{question}\:\mathrm{by}\:\mathrm{only}\:\mathrm{using}\:\mathrm{x}+\mathrm{iy}? \\ $$

Commented by prakash jain last updated on 12/Dec/17

I was looking at your solutions earlier so thought maybe try with polar if it simplifies the solution. I think there should be still simpler way to solve this question. most of IIT-JEE problems should take than 6 lines

Commented by ajfour last updated on 13/Dec/17

you can view my solution Sir. As Q.25709 .

$${you}\:{can}\:{view}\:{my}\:{solution}\:{Sir}. \\ $$$${As}\:\:{Q}.\mathrm{25709}\:. \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Dec/17

z^� +1=iz^2 +∣z∣^2 Let z=x+iy x+iy ^(−) +1=i(x+iy)^2 +∣x+iy∣^2 x−iy+1=i(x^2 −y^2 +2ixy)+((√(x^2 +y^2 )) )^2 x−iy+1=ix^2 −iy^2 −2xy+x^2 +y^2 x+1=x^2 +y^2 −2xy ∧ y=−x^2 +y^2 Adding above two eqns x+y+1=2y^2 −2xy x+y+1=−2y(x−y)......A Subtracting x−y+1=2x^2 −2xy x−y+1=2x(x−y).........B A+B:2x+2=2x(x−y)−2y(x−y) 2(x+1)=(x−y)(2x−2y) x+1=(x−y)^2 x+1=(x−y)^2 ∧ y=−(x−y)(x+y) ((x+1)/y)=((x−y)/(−(x+y))) −(x+1)(x+y)=y(x−y) −x^2 −xy−x−y=xy−y^2 x^2 +2xy−y^2 +x+y=0 2xy−x^2 −y^2 +x+1−iy−ix^2 +iy^2 =0 (−x^2 −y^2 +2xy+x+1)+i(−y−x^2 +y^2 )=0+0i { ((−x^2 −y^2 +2xy+x+1=0.......(i))),(( and)),((−y−x^2 +y^2 =0....................(ii))) :} (i)⇒−(x^2 +y^2 −2xy)+x+1=0 ⇒x−(x−y)^2 +1=0.........(iii) (ii)⇒−y−2x^2 +x^2 +y^2 −2xy+2xy=0 ⇒(x−y)^2 −2x^2 −y+2xy=0...(iv) (iii)+(iv): x+1−2x^2 −y+2xy=0 −2x(x−y)+(x−y)=−1 (x−y)(−2x+1)=−1 (iv)−(iii):2(x−y)^2 −x−1−2x^2 −y+2xy=0 2(x−y)^2 −2x(x−y)−x−y−1=0 2(x−y){x−y−x}−x−y=1 2(x−y)(−y)−x−y=1 2(x−y)(−y)−x−y=1 −2xy+2y^2 −x−y=1 (ii)−(i):−y+2y^2 −2xy−x−1=0 −y+2y^2 −4xy+2x^2 +2xy−2x^2 −x−1=0 Continue

$$\bar {\mathrm{z}}+\mathrm{1}=\mathrm{iz}^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{z}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ $$$$\overline {\:\:\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:\:}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{x}−\mathrm{iy}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ixy}\right)+\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{x}−\mathrm{iy}+\mathrm{1}=\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} −\mathrm{iy}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}\:\wedge\:\mathrm{y}=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Adding}\:\mathrm{above}\:\mathrm{two}\:\mathrm{eqns} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{1}=−\mathrm{2y}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)......\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{Subtracting} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right).........\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A}+\mathrm{B}:\mathrm{2x}+\mathrm{2}=\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\mathrm{2y}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2y}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:\wedge\:\mathrm{y}=−\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{y}}{−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)} \\ $$$$−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{y}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right) \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}−\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{xy}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{2xy}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{iy}−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} +\mathrm{iy}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{i}\left(−\mathrm{y}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0}+\mathrm{0i} \\ $$$$\begin{cases}{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}.......\left(\mathrm{i}\right)}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{and}}\\{−\mathrm{y}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}....................\left(\mathrm{ii}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}\right)+\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}.........\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow−\mathrm{y}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}+\mathrm{2xy}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}+\mathrm{2xy}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)+\left(\mathrm{iv}\right):\:\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}+\mathrm{2xy}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{iv}\right)−\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}+\mathrm{2xy}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left\{\mathrm{x}−\mathrm{y}−\mathrm{x}\right\}−\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(−\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:−\mathrm{2xy}+\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)−\left(\mathrm{i}\right):−\mathrm{y}+\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}−\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{y}+\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4xy}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Continue} \\ $$

Commented by math solver last updated on 10/Dec/17

also one of the ans. is z= −(i/2) ⇒ x=0, y= −0.5 which is not satisfying in both the eq.

$${also}\:{one}\:{of}\:{the}\:{ans}.\:{is}\:{z}=\:−\frac{{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}=\mathrm{0},\:{y}=\:−\mathrm{0}.\mathrm{5}\:{which}\:{is}\:{not}\:{satisfying} \\ $$$${in}\:{both}\:{the}\:{eq}. \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Dec/17

z^− +1=iz^2 +∣z∣^2 (−(i/2))^(−) +1=i(−(i/2))^2 +∣−(i/2)∣^2 (i/2)+1=i(((−1)/4))+((√(0+(1/4))))^2 ((i+2)/2)=((−i)/4)+(1/4) But ((i+2)/2)≠((−i+1)/4) Sir the answer also doesn′t satisfy original equation! So the answer seems incorrect.

$$\overset{−} {\mathrm{z}}+\mathrm{1}=\mathrm{iz}^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{z}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\overline {\left(−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mid−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}=\mathrm{i}\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\sqrt{\mathrm{0}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{i}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{i}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{But}\: \\ $$$$\:\frac{\mathrm{i}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\neq\frac{−\mathrm{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{also}\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{satisfy} \\ $$$$\mathrm{original}\:\mathrm{equation}! \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{seems}\:\mathrm{incorrect}. \\ $$

Commented by math solver last updated on 10/Dec/17

yes , you are right. anyways, thanks.

$${yes}\:,\:{you}\:{are}\:{right}. \\ $$$${anyways},\:{thanks}. \\ $$

Commented by jota@ last updated on 11/Dec/17

(x−y)^2 −x−1=0 x^2 −y^2 +y=0 by inspection x=0 and y=1 z=i

$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{y}^{\mathrm{2}} +{y}=\mathrm{0} \\ $$$${by}\:{inspection} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:{and}\:{y}=\mathrm{1} \\ $$$${z}={i} \\ $$

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