Question Number 258 by mchawla last updated on 25/Jan/15
$$\mathrm{If}\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{5}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{arithmetic}\:\mathrm{progression}\:\mathrm{then}\:\mathrm{find} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{x}. \\ $$
Answered by 123456 last updated on 17/Dec/14
![log_3 2,log_3 (2^x −5),log_3 (2^x −(7/2)) since it was at pa then midle term is arithmetic mean of side term 2log_3 (2^x −5)=log_3 2+log_3 (2^x −(7/2)) 2log_3 (2^x −5)=log_3 [2(2^x −(7/2))] log_3 (2^x −5)^2 =log_3 (2∙2^x −7) (2^x −5)^2 =2∙2^x −7 seting y=2^x (y−5)^2 =2y−7 y^2 −10y+25=2y−7 y^2 −12y+32=0 Δ=(−12)^2 −4(1)(32) =144−128 =16 y=((−(−12)±(√(16)))/(2(1))) =((12±4)/2) =6±2 y_1 =4⇒2^x =2^2 ⇔x=2+2πki log_3 2,log_3 (−1),log_3 (1/2) log_3 2,log_3 (−1),−log_3 2(wtf) y_2 =8⇒2^x =2^3 ⇔x=3+2πki log_3 2,log_3 3,log_3 (9/2) log_3 2,1,2−log_3 2(r=1−log_3 2) ignore blue part,k∈Z then x=3](Q265.png)
$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{5}\right),\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{it}\:\mathrm{was}\:\mathrm{at}\:\mathrm{pa}\:\mathrm{then}\:\mathrm{midle}\:\mathrm{term}\:\mathrm{is}\:\mathrm{arithmetic}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{of}\:\mathrm{side}\:\mathrm{term} \\ $$$$\mathrm{2log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{5}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{2log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{5}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left[\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{7}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\centerdot\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{seting}\:\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y}−\mathrm{7} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{y}+\mathrm{25}=\mathrm{2}{y}−\mathrm{7} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{y}+\mathrm{32}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\left(−\mathrm{12}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{32}\right) \\ $$$$=\mathrm{144}−\mathrm{128} \\ $$$$=\mathrm{16} \\ $$$${y}=\frac{−\left(−\mathrm{12}\right)\pm\sqrt{\mathrm{16}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{12}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{6}\pm\mathrm{2} \\ $$$${y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow{x}=\mathrm{2}+\mathrm{2}\pi{ki} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{1}\right),\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{1}\right),−\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2}\left({wtf}\right) \\ $$$${y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \Leftrightarrow{x}=\mathrm{3}+\mathrm{2}\pi{ki} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{3},\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2},\mathrm{1},\mathrm{2}−\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2}\left({r}=\mathrm{1}−\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{ignore}\:\mathrm{blue}\:\mathrm{part},{k}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{x}=\mathrm{3} \\ $$