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Question Number 26374 by tawa tawa last updated on 24/Dec/17

show that if arg(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 ))) = (π/2) then ∣z_1 ∣ = ∣z_2 ∣

$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{if}\:\:\:\:\mathrm{arg}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\mathrm{then}\:\:\:\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid\:=\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 31/Dec/17

arg(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 ))) = (π/2) tan^(-1) ((Im(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 ))))/(Re(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 )))))=(π/2) ((Im(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 ))))/(Re(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 )))))=tan((π/2))=∞ ∴ Re(((z_1 + z_2 )/(z_1 − z_2 )))=0 Let z_1 =x_1 +iy_(1 ) & z_2 =x_2 +iy_2 Re((((x_1 +iy_(1 ) )+(x_2 +iy_2 ))/((x_1 +iy_(1 ) )−(x_2 +iy_2 )))) Re((((x_1 +x_2 )+i(y_(1 ) +y_2 ))/((x_1 −x_2 )+i(y_(1 ) −y_2 )))) Let x_1 +x_2 =u_1 ,y_(1 ) +y_2 =v_1 x_1 −x_2 =u_2 and y_(1 ) −y_2 =v_2 Re(((u_1 +iv_1 )/(u_2 +iv_2 )))=Re(((u_1 +iv_1 )/(u_2 +iv_2 ))×((u_2 −iv_2 )/(u_2 −iv_2 ))) =Re(((u_1 u_2 +v_1 v_2 +i(u_2 v_1 −u_1 v_2 ))/(u_2 ^2 +v_2 ^2 ))) =((u_1 u_2 +v_1 v_2 )/(u_2 ^2 +v_2 ^2 ))=0 u_1 u_2 +v_1 v_2 =0 (x_1 +x_2 )(x_1 −x_2 )+(y_(1 ) +y_2 )(y_(1 ) −y_2 )=0 (x_1 ^2 −x_2 ^2 )+(y_(1 ) ^2 −y_2 ^2 )=0 (x_1 ^2 +y_(1 ) ^2 )−(x_2 ^2 +y_2 ^2 )=0 (x_1 ^2 +y_(1 ) ^2 )=(x_2 ^2 +y_2 ^2 ) ∣z_1 ∣^2 =∣z_2 ∣^2 ∣z_1 ∣=∣z_2 ∣

$$\mathrm{arg}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}^{-\mathrm{1}} \frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)}=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)}=\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=\infty \\ $$$$\therefore\:\:\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{1}\:\:} \&\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{Re}\left(\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{1}\:\:} \right)+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{1}\:\:} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{iy}_{\mathrm{2}} \right)}\right) \\ $$$$\:\mathrm{Re}\left(\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{iv}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +\mathrm{iv}_{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{iv}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +\mathrm{iv}_{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} −\mathrm{iv}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} −\mathrm{iv}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{Re}\left(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} +\mathrm{i}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} ^{\mathrm{2}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}\:\:} ^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid^{\mathrm{2}} =\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid=\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid \\ $$

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