Question Number 27204 by rish@bh last updated on 03/Jan/18
$$\mathrm{if}\:{g}\left({x}\right)={f}\left({x}\right)+{f}\left(\mathrm{1}−{x}\right) \\ $$ $$\mathrm{and}\:{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left({x}\right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{then}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\: \\ $$ $${g}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{0},\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\:\mathrm{and} \\ $$ $${g}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreasing}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{1}/\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by Giannibo last updated on 03/Jan/18
$$ \\ $$ $$ \\ $$ $$\exists\mathrm{g}'\:\mathrm{because}\:\exists\mathrm{f}''\Rightarrow\exists\mathrm{f}' \\ $$ $$\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$ $$\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}'\downarrow \\ $$ $$\mathrm{If}\:\mathrm{x}<\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\Leftrightarrow\mathrm{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\overset{\mathrm{f}'\downarrow} {\Rightarrow}\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$ $$\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow\:\mathrm{g}\uparrow \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{If}\:\mathrm{x}>\mathrm{1}−\mathrm{x}\Leftrightarrow\mathrm{x}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\overset{\mathrm{f}'\downarrow} {\Rightarrow}\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$ $$\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{g}\downarrow \\ $$
Commented byrish@bh last updated on 03/Jan/18
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}! \\ $$
Commented byPenguin last updated on 04/Jan/18
$$\mathrm{What}\:\mathrm{does}\:{f}'\downarrow\:\mathrm{mean}?? \\ $$
Commented byGiannibo last updated on 04/Jan/18
$$\mathrm{f}'\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreasing} \\ $$