Question Number 2791 by Filup last updated on 27/Nov/15 | ||
$$\mathrm{Knowing}\:\mathrm{that}\:{e}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}!}, \\ $$ $$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:{e}\:\mathrm{is}\:\mathrm{finite}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{That}\:\mathrm{is},\:\mathrm{show}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}: \\ $$ $${S}=\left\{\exists{x}\in\mathbb{R}:\mid{x}\mid<\infty,\:{e}={x}\right\} \\ $$ $$\mathrm{Where}\:{S}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution} \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 27/Nov/15 | ||
$$\mathrm{Euler}\:\mathrm{number}\:{e}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}!} \\ $$ | ||
Answered by prakash jain last updated on 27/Nov/15 | ||
$${e}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+.. \\ $$ $${e}=\mathrm{1}+...\Rightarrow\:{e}>\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{remain}\:\mathrm{terms} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}+... \\ $$ $$\mathrm{2}!=\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{3}!>\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\mathrm{Similary}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} } \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}+...<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{1}/\mathrm{2}}=\mathrm{1} \\ $$ $${e}<\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{1}<{e}<\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{Hence}\:{S}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}. \\ $$ $$\mathrm{Note}\:\mathrm{that}\:{e}\:\mathrm{in}\:\mathrm{your}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{THE} \\ $$ $$\mathrm{constant}\:\boldsymbol{{e}}. \\ $$ | ||
Commented byFilup last updated on 27/Nov/15 | ||
$$\mathrm{O}{h}.\:\mathrm{Its}\:\mathrm{a}\:\mathrm{typo}.\:\mathrm{It}\:\mathrm{was}\:\mathrm{meant}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the} \\ $$ $$\mathrm{constant}.\:\mathrm{Nice}\:\mathrm{proof},\:{regardless}! \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 27/Nov/15 | ||
$$\mathrm{For}\:\mathrm{the}\:\mathrm{constant}\:{e},\:\mathrm{2}<{e}<\mathrm{3} \\ $$ | ||