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Question Number 28515 by beh.i83417@gmail.com last updated on 26/Jan/18

Answered by mrW2 last updated on 26/Jan/18

tan 20−tan 40+tan 80 =tan 20−tan (60−20)+tan (60+20) =tan 20−(((√3)−tan 20)/(1+(√3)tan 20))+(((√3)+tan 20)/(1−(√3)tan 20)) =tan 20+((tan 20−(√3))/(1+(√3)tan 20))+((tan 20+(√3))/(1−(√3)tan 20)) =tan 20+((8tan 20)/(1−3tan^2 20)) =3×(((3−tan^2 20)tan 20)/(1−3tan^2 20)) =3 tan (3×20) =3 tan 60 =3(√3) PS: tan 3α=((tan α+tan 2α)/(1−tan α tan 2α))=((tan α+((2tan α)/(1−tan^2 α)))/(1−tan α((2tan α)/(1−tan^2 α)))) tan 3α=((tan α(1−tan^2 α)+2tan α)/(1−tan^2 α−2tan^2 α)) ⇒tan 3α=(((3−tan^2 α)tan α)/(1−3tan^2 α))

$$\mathrm{tan}\:\mathrm{20}−\mathrm{tan}\:\mathrm{40}+\mathrm{tan}\:\mathrm{80} \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\mathrm{20}−\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{60}−\mathrm{20}\right)+\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{60}+\mathrm{20}\right) \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\mathrm{20}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\:\mathrm{20}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{tan}\:\mathrm{20}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\:\mathrm{20}} \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\mathrm{20}+\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\:\mathrm{20}}+\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\:\mathrm{20}} \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\mathrm{20}+\frac{\mathrm{8tan}\:\mathrm{20}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{20}} \\ $$$$=\mathrm{3}×\frac{\left(\mathrm{3}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{20}\right)\mathrm{tan}\:\mathrm{20}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{20}} \\ $$$$=\mathrm{3}\:\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{3}×\mathrm{20}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{60} \\ $$$$=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$${PS}: \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{3}\alpha=\frac{\mathrm{tan}\:\alpha+\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\alpha\:\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\alpha}=\frac{\mathrm{tan}\:\alpha+\frac{\mathrm{2tan}\:\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\alpha\frac{\mathrm{2tan}\:\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{3}\alpha=\frac{\mathrm{tan}\:\alpha\left(\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)+\mathrm{2tan}\:\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha−\mathrm{2tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\mathrm{3}\alpha=\frac{\left(\mathrm{3}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)\mathrm{tan}\:\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \:\alpha} \\ $$

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