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Question Number 30090 by gopikrishnan005@gmail.com last updated on 16/Feb/18

$$\mathrm{if}\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}\mathrm{similar}\mathrm{\Delta }\mathrm{PQR}\mathrm{and}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{\Delta }\mathrm{PQR}=4\mathrm{area}\left(\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}\right)\mathrm{then}\mathrm{AB}:\mathrm{PQ}\mathrm{is}$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Feb/18

$$\mathrm{mAB}=\mathrm{c},\mathrm{mBC}=\mathrm{a},\mathrm{mAC}=\mathrm{b},\mathrm{s}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$$$$\mathrm{mPQ}=\mathrm{r},\mathrm{mQR}=\mathrm{p},\mathrm{mPR}=\mathrm{q},\mathrm{S}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}}{2}$$$$▴\mathrm{ABC}$$$$=4\sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}=\sqrt{16\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}$$$$\sqrt{2\mathrm{s}(2\mathrm{s}-2\mathrm{a})(2\mathrm{s}-2\mathrm{b})(2\mathrm{s}-2\mathrm{c})}$$$$\mathrm{Set}$$$$\mathrm{p}=2\mathrm{a},\mathrm{q}=2\mathrm{b}\mathrm{\&}\mathrm{r}=2\mathrm{c}$$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}}{2}=\frac{2\mathrm{a}+2\mathrm{b}+2\mathrm{c}}{2}=2\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\right)=2\mathrm{s}$$$$\sqrt{2\mathrm{s}(2\mathrm{s}-2\mathrm{a})(2\mathrm{s}-2\mathrm{b})(2\mathrm{s}-2\mathrm{c})}$$$$=\sqrt{\mathrm{S}(\mathrm{S}-\mathrm{p})(\mathrm{S}-\mathrm{q})(\mathrm{S}-\mathrm{r})}=▴\mathrm{PQR}$$$$\mathrm{where}\mathrm{S}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}}{2}$$$$\mathrm{Hence},$$$$\mathrm{a}:\mathrm{p}=\mathrm{b}:\mathrm{q}=\mathrm{c}:\mathrm{r}=1:2$$

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