Question Number 31517 by abdo imad last updated on 09/Mar/18
$${find}\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\frac{{dx}}{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}\:\:. \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 12/Mar/18
![let put I(ξ) =∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) (dx/((√(1+x)) +(√(1−x)) )) we have I=lim_(ξ→0) I(ξ) but I(ξ)= ∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) (((√(1+x)) −(√(1−x)) )/(2x))dx =(1/2)( ∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) ((√(1+x))/x)dx −∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) ((√(1−x))/x) dx ) ch.(√(1+x)) =t ⇒1+x=t^2 ⇒x=t^2 −1 give ∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) ((√(1+x))/x)dx= ∫_(√ξ) ^(√(2+ξ)) (t/(t^2 −1)) (2t)dt = 2∫_(√ξ) ^(√(2+ξ)) ((t^2 −1 +1)/(t^2 −1))dt=2((√(2+ξ)) −(√ξ)) + ∫_(√ξ) ^(√(2+ξ)) ((1/(t−1)) −(1/(t+1)))dt =2((√(2+ξ)) −(√ξ)) + [ln∣((t−1)/(t+1))∣]_(√ξ) ^(√(2+ξ)) =2((√(2+ξ)) −(√ξ) ) +ln∣(((√(2+ξ)) −1)/((√(2+ξ)) +1))∣ −ln∣(((√ξ) −1)/((√ξ) +1))∣ →_(ξ→0) 2(√2) +ln((((√2) −1)/((√2) +1))) and ch.(√(1−x)) =t⇒1−x=t^2 ⇒x=1−t^2 give ∫_(−1+ξ) ^(1+ξ) ((√(1−x))/x)dx = ∫_(√(2−ξ)) ^(√(−ξ)) (t/(1−t^2 )) (−2t)dt = 2 ∫_(√(2−ξ)) ^(√(−ξ)) ((t^2 −1+1)/(t^2 −1))dt= 2((√(−ξ)) −(√(2−ξ))) +∫_(√(2−ξ)) ^(√(−ξ)) ((1/(t−1)) −(1/(t+1)))dt =2((√(−ξ)) −(√(2−ξ))) +[ln∣((t−1)/(t+1))∣]_(√(2−ξ)) ^(√(−ξ)) =2((√(−ξ)) −(√(2−ξ)) ) + ln ∣(((√(−ξ)) −1)/((√(−ξ)) +1))∣ −ln∣(((√(2−ξ)) −1)/((√(2−ξ)) +1))∣ →−2(√2) −ln((((√2) −1)/((√2) +1))) ⇒ lim_(ξ→0) I(ξ) =(1/2)(2(√2) +ln((((√2) −1)/((√2) +1))) +2(√(2 )) +ln((((√2) −1)/((√2) +1)))) =2(√2) +ln((((√2) −1)/((√2) +1))) .](Q31696.png)
$${let}\:{put}\:{I}\left(\xi\right)\:=\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\:\:\frac{{dx}}{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:} \\ $$$${we}\:{have}\:{I}={lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \:{I}\left(\xi\right)\:\:{but} \\ $$$${I}\left(\xi\right)=\:\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:}{\mathrm{2}{x}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\:\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{{x}}{dx}\:−\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{{x}}\:{dx}\:\right) \\ $$$${ch}.\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:={t}\:\Rightarrow\mathrm{1}+{x}={t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{x}={t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:{give} \\ $$$$\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{{x}}{dx}=\:\int_{\sqrt{\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}} \:\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\left(\mathrm{2}{t}\right){dt} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\int_{\sqrt{\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}} \:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}\:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}{dt}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}+\xi}\:−\sqrt{\xi}\right)\:+\:\int_{\sqrt{\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\right){dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}+\xi}\:−\sqrt{\xi}\right)\:+\:\left[{ln}\mid\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}+\xi}\:−\sqrt{\xi}\:\right)\:+{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}+\xi}\:+\mathrm{1}}\mid\:−{ln}\mid\frac{\sqrt{\xi}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\xi}\:+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\rightarrow_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\:+{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\right)\:\:{and}\:{ch}.\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:={t}\Rightarrow\mathrm{1}−{x}={t}^{\mathrm{2}} \Rightarrow{x}=\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \:{give} \\ $$$$\int_{−\mathrm{1}+\xi} ^{\mathrm{1}+\xi} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{{x}}{dx}\:\:=\:\int_{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}} ^{\sqrt{−\xi}} \:\:\frac{{t}}{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }\:\left(−\mathrm{2}{t}\right){dt} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\:\int_{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}} ^{\sqrt{−\xi}} \:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}{dt}=\:\mathrm{2}\left(\sqrt{−\xi}\:−\sqrt{\mathrm{2}−\xi}\right)\:+\int_{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}} ^{\sqrt{−\xi}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\right){dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{−\xi}\:−\sqrt{\mathrm{2}−\xi}\right)\:+\left[{ln}\mid\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}} ^{\sqrt{−\xi}} \: \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{−\xi}\:−\sqrt{\mathrm{2}−\xi}\:\right)\:+\:{ln}\:\mid\frac{\sqrt{−\xi}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{−\xi}\:+\mathrm{1}}\mid\:−{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}−\xi}\:+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\rightarrow−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\:−{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \:{I}\left(\xi\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:+{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\right)\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\:}\:+{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\:+{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\right)\:. \\ $$