Question Number 32508 by Tinkutara last updated on 26/Mar/18
Answered by MJS last updated on 27/Mar/18
$$\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{2}\:\mathrm{tangents}\:\mathrm{of}\:\mathrm{different} \\ $$$$\mathrm{lengths}\:\mathrm{but}\:\mathrm{none}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{answers} \\ $$$$\mathrm{fit}\:\mathrm{any}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}... \\ $$$$\mathrm{ellipse}:\:{y}=\pm\frac{{b}}{{a}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{in}\:\mathrm{point}\:\begin{pmatrix}{{o}}\\{\pm\frac{{b}}{{a}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{o}^{\mathrm{2}} }}\end{pmatrix}: \\ $$$${t}:\:{y}=\mp\frac{{bo}}{{a}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{o}^{\mathrm{2}} }}×{x}\pm\frac{{ab}}{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{o}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{tangents}\:\mathrm{through}\:\mathrm{given}\:\mathrm{point} \\ $$$${P}=\begin{pmatrix}{{p}}\\{{q}}\end{pmatrix}:\:\mathrm{solve}\:\mathrm{above}\:\mathrm{equations} \\ $$$$\mathrm{for}\:{o}\:\mathrm{with}\:{x}={p}\wedge{y}={q} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}: \\ $$$${a}=\sqrt{\mathrm{3}};\:{b}=\mathrm{2};\:{p}=\mathrm{3};\:{q}=−\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{5}=\mp\frac{\mathrm{2o}}{\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}−{o}^{\mathrm{2}} }}×\mathrm{3}\pm\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{3}−{o}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$${o}_{\mathrm{1}\:\left({y}<\mathrm{0}\right)} =\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{37}}−\frac{\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}} \\ $$$${o}_{\mathrm{2}\:\left({y}>\mathrm{0}\right)} =\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{37}}+\frac{\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{tangents}: \\ $$$${t}_{\mathrm{1}} :\:{y}=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)×{x}+\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${t}_{\mathrm{2}} :\:{y}=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right)×{x}+\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{2}\:\mathrm{points}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ellipse}\:\mathrm{are}: \\ $$$${O}_{\mathrm{1}} =\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{37}}−\frac{\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}}}\\{−\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{37}}−\frac{\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}}}\end{pmatrix} \\ $$$${O}_{\mathrm{2}} =\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{37}}+\frac{\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}}}\\{−\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{37}}+\frac{\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{11}}}{\mathrm{37}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{distances}\:\mathrm{to}\:{P}=\begin{pmatrix}{\mathrm{3}}\\{−\mathrm{5}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mid{P}−\mathrm{O}_{\mathrm{1}} \mid=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{37}}\sqrt{\mathrm{55}\left(\mathrm{83}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{11}}\right)}\approx\mathrm{5}.\mathrm{25} \\ $$$$\mid{P}−\mathrm{O}_{\mathrm{2}} \mid=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{37}}\sqrt{\mathrm{55}\left(\mathrm{83}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{11}}\right)}\approx\mathrm{5}.\mathrm{69} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{options}\:\mathrm{are}: \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{2}.\mathrm{06} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{33}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{2}.\mathrm{87} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{37}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{3}.\mathrm{04} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{2}.\mathrm{18} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 27/Mar/18
Commented by Tinkutara last updated on 27/Mar/18
@MJS you are right. Graphing calculator confirms your answer. Thank you Sir! ��������