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Question Number 32745 by vakil vishaWakrma last updated on 01/Apr/18

$$\mathrm{The}\mathrm{first},\mathrm{second}\mathrm{and}\mathrm{middle}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{an}$$$$\mathrm{AP}\mathrm{are}a,b,c\mathrm{respectively}.\mathrm{Their}\mathrm{sum}\mathrm{is}$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 01/Apr/18

$$\mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{AP}\mathrm{has}\mathrm{n}\left(\mathrm{odd}\right)\mathrm{terms}\mathrm{and}\mathrm{common}$$$$\mathrm{difference}\mathrm{d}.$$$$\mathrm{d}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$$$$\mathrm{The}\mathrm{middle}\mathrm{term}=\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\mathrm{th}\mathrm{term}=\mathrm{c}$$$$\mathrm{c}=\mathrm{a}+(\frac{\mathrm{n}+1}{2}-1)(\mathrm{b}-\mathrm{a})$$$$\frac{\mathrm{n}-1}{2}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$$$$\mathrm{n}=\frac{2(\mathrm{c}-\mathrm{a})}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}+1$$$$=\frac{2\mathrm{c}-2\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$$$$=\frac{-3\mathrm{a}+\mathrm{b}+2\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$$$$\mathrm{Sum}=(\mathrm{middle}-\mathrm{term})\times \left(\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\right)$$$$=\mathrm{c}\times \mathrm{n}=\mathrm{c}\left(\frac{-3\mathrm{a}+\mathrm{b}+2\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}\right)$$$$=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}(-3\mathrm{a}+\mathrm{b}+2\mathrm{c})$$

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