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Question Number 33837 by NECx last updated on 25/Apr/18

find y if ∣((y−3)/(y+1))∣<2 i mean modulus by ∣

$${find}\:{y}\:{if}\:\mid\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{2} \\ $$ $$ \\ $$ $${i}\:{mean}\:{modulus}\:{by}\:\mid \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Apr/18

find y if ∣((y−3)/(y+1))∣<2 ±((y−3)/(y+1))<2 ±(y−3)<2(y+1) ∧ y+1>0.......A or ±(y−3)>2(y+1) ∧ y+1<0.......B A y−3<2y+2 ∧ y>−1............A1 y>−5 ∧ y>−1 y>−1 or −y+3<2y+2 ∧ y>−1..........A2 3y>1∧ y>−1 y>1/3 ∧ y>−1 y>1/3 A: A1 or A2 : y>−1 ∨ y>1/3 y>−1 −−−−−−−−− B y−3>2y+2 ∧ y<−1....B1 y<−5 ∧ y<−1 y<−5 or −y+3>2y+2 ∧ y<−1....B2 y<1/3 ∧ y<−1 y<−1 B: B1 or B2: y<−5 ∨ y<−1 y<−1 −−−−−−−−− Ans : A or B: y>−1 or y<−1 Some error is there.

$${find}\:{y}\:{if}\:\mid\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{2} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\pm\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\pm\left({y}−\mathrm{3}\right)<\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)\:\wedge\:{y}+\mathrm{1}>\mathrm{0}.......\mathrm{A} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\pm\left({y}−\mathrm{3}\right)>\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)\:\wedge\:{y}+\mathrm{1}<\mathrm{0}.......\mathrm{B} \\ $$ $$\mathrm{A} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}−\mathrm{3}<\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1}............\mathrm{A1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{5}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\mathrm{or} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{y}+\mathrm{3}<\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1}..........\mathrm{A2} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{y}>\mathrm{1}\wedge\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\wedge\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\: \\ $$ $$\mathrm{A}:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{A1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{A2}\::\:\:\:{y}>−\mathrm{1}\:\vee\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\: \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$−−−−−−−−− \\ $$ $$\mathrm{B} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}−\mathrm{3}>\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1}....\mathrm{B1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{5}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{5} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:−{y}+\mathrm{3}>\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1}....\mathrm{B2} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{B}:\:\:\:\:\mathrm{B1}\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{B2}:\:{y}<−\mathrm{5}\:\vee\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$−−−−−−−−− \\ $$ $$\mathrm{Ans}\::\:\mathrm{A}\:\mathrm{or}\:\mathrm{B}:\:\:{y}>−\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$ $$\mathrm{Some}\:\mathrm{error}\:\mathrm{is}\:\mathrm{there}. \\ $$

Commented byMJS last updated on 26/Apr/18

−2<((y−3)/(y+1))<2 ⇒ −2<((y−3)/(y+1)) ∧ ((y−3)/(y+1))<2 y+1≠0 ⇒ y≠−1 1. y+1<0 ⇒ y<−1 −2(y+1)>y−3 ∧ y−3>2(y+1) y<(1/3) ∧ y<−5 ⇒ y<−5 2. y+1>0 ⇒ y>−1 −2(y+1)<y−3 ∧ y−3<2(y+1) y>(1/3) ∧ y>−5 ⇒ y>(1/3) y<−5 ∨ y>(1/3) y∈ ]−∞; −5[ ∪ ](1/3); ∞[ ...but anyway he meant mod(((y−3)/(y+1)))<2

$$−\mathrm{2}<\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\:\wedge\:\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2} \\ $$ $${y}+\mathrm{1}\neq\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}\neq−\mathrm{1} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{1}.\:{y}+\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$ $$−\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)>{y}−\mathrm{3}\:\wedge\:{y}−\mathrm{3}>\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$ $${y}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{5}\:\Rightarrow\:{y}<−\mathrm{5} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{2}.\:{y}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$ $$−\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)<{y}−\mathrm{3}\:\wedge\:{y}−\mathrm{3}<\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$ $${y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{5}\:\Rightarrow\:{y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$ \\ $$ $${y}<−\mathrm{5}\:\vee\:{y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\left.{y}\in\:\right]−\infty;\:−\mathrm{5}\left[\:\cup\:\right]\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}};\:\infty\left[\right. \\ $$ $$...\mathrm{but}\:\mathrm{anyway}\:\mathrm{he}\:\mathrm{meant}\:{mod}\left(\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\right)<\mathrm{2} \\ $$

Answered by MJS last updated on 26/Apr/18

mod(5/3)=2 because 1×3+2=5 which definition shall we use for mod(−5/3) and mod(5/−3)?

$$\mathrm{mod}\left(\mathrm{5}/\mathrm{3}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{because}\:\mathrm{1}×\mathrm{3}+\mathrm{2}=\mathrm{5} \\ $$ $$\mathrm{which}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{shall}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\mathrm{for}\:\mathrm{mod}\left(−\mathrm{5}/\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{mod}\left(\mathrm{5}/−\mathrm{3}\right)? \\ $$

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