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Question Number 33984 by abdo imad last updated on 28/Apr/18

calculate ∫_0 ^1 (1/x)ln(((1+x)/(1−x)))dx

$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx} \\ $$

Commented by prof Abdo imad last updated on 29/Apr/18

let put I = ∫_0 ^1 (1/x)ln(((1+x)/(1−x)))dx I = ∫_0 ^1 (1/x)ln(1+x)dx −∫_0 ^1 (1/x) ln(1−x)dx but we have ln^′ (1+x)= (1/(1+x))=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n ⇒ ln(1+x)= Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n+1))x^(n+1) +λ= Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) x^n +λ λ =0 ⇒∫_0 ^1 (1/x)ln(1+x)dx= ∫_0 ^1 (1/x)( Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)x^n )dx = Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) ∫_0 ^1 x^(n−1) dx = Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 ) =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =−( (1/4)Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) −Σ_(n=0) ^∞ (1/((2n+1)^2 ))) =Σ_(n=0) ^∞ (1/((2n+1)^2 )) −(1/4) Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) = (π^2 /8) −(1/4) (π^2 /6) = ((3π^2 )/(24)) −(π^2 /(24)) =(π^2 /(12)) .let calculate ∫_0 ^1 (1/x)ln(1−x)dx we have ln^′ (1−x) = ((−1)/(1−x)) =−Σ_(n=0) ^∞ x^n ⇒ ln(1−x) = −Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n+1))+λ =−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n) +λ λ=0 ⇒ ∫_0 ^1 (1/x)ln(1−x)dx =−∫_0 ^1 (Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /n))dx =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n) ∫_0 ^1 x^(n−1) dx=−Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) =−(π^2 /6) ⇒ I = (π^2 /(12)) +(π^2 /6) = ((3π^2 )/(12)) = (π^2 /4) ★ I =(π^2 /4) ★

$${let}\:{put}\:\:{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx} \\ $$$${I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\:{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}\:{but}\:{we} \\ $$$${have}\:{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{x}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} \Rightarrow \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \:+\lambda=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:{x}^{{n}} \:+\lambda \\ $$$$\lambda\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{x}^{{n}} \right){dx} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx} \\ $$$$=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left(\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\:.{let}\:{calculate} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}\:\:{we}\:{have} \\ $$$${ln}^{'} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=\:\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} \:\Rightarrow \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=\:−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\lambda\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:+\lambda \\ $$$$\lambda=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\right){dx} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx}=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\bigstar\:{I}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:\bigstar \\ $$

Answered by hknkrc46 last updated on 29/Apr/18

ln (((1+x)/(1−x)))=ln ((((1+x)(1+x))/((1−x)(1+x))))=ln ((((1+x)^2 )/(1−x^2 ))) =ln (((1+x)/(√(1−x^2 ))))^2 =2ln ((1+x)/(√(1−x^2 ))) ∫(1/x)ln (((1+x)/(1−x)))dx=2∫((1+x)/(x(√(1−x^2 ))))dx→ { ((x=cos 2ψ⇒dx=−2sin2 ψdψ)),((x→0,ψ→(π/4)∧x→1,ψ→0)) :} −2∫(((1+cos 2ψ)sin 2ψ)/(cos 2ψ(√(1−cos^2 2ψ))))dψ=−2∫((2cos^2 ψsin 2ψ)/(cos 2ψsin 2ψ))dψ =−4∫((cos^2 ψ)/(cos 2ψ))dψ=−4∫((1−sin^2 ψ)/(cos 2ψ))dψ =−4∫sec 2ψdψ+4∫((sin^2 ψ)/(cos 2ψ))dψ =−4∫sec 2ψdψ+4∫(((1−cos 2ψ)/2)/(cos 2ψ))dψ =−4∫sec 2ψdψ+2∫sec 2ψdψ−2∫dψ =−2∫sec 2ψdψ−2∫dψ=−2∫(dψ/(cos 2ψ))−2∫dψ =−2∫(dψ/(cos 2ψ))−2∫dψ=−ln ∣sec 2ψ+tan 2ψ∣−2ψ+C ∫_0 ^1 (1/x)ln(((1+x)/(1−x)))dx=[−ln ∣sec 2ψ+tan 2ψ∣−2ψ]_(π/4) ^0 =−∞

$$\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right)=\mathrm{ln}\:\left(\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)}\right)=\mathrm{ln}\:\left(\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}}\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx}=\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}+{x}}{{x}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx}\rightarrow\begin{cases}{{x}=\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi\Rightarrow{dx}=−\mathrm{2sin2}\:\psi{d}\psi}\\{{x}\rightarrow\mathrm{0},\psi\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{4}}\wedge{x}\rightarrow\mathrm{1},\psi\rightarrow\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$−\mathrm{2}\int\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\psi}}{d}\psi=−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \psi\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\psi}{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}{d}\psi=−\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi{d}\psi+\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi{d}\psi+\mathrm{4}\int\frac{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}{\mathrm{2}}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi{d}\psi+\mathrm{2}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi{d}\psi−\mathrm{2}\int{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{2}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi{d}\psi−\mathrm{2}\int{d}\psi=−\mathrm{2}\int\frac{{d}\psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}−\mathrm{2}\int{d}\psi \\ $$$$=−\mathrm{2}\int\frac{{d}\psi}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\psi}−\mathrm{2}\int{d}\psi=−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi+\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\psi\mid−\mathrm{2}\psi+{C} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx}=\left[−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{2}\psi+\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\psi\mid−\mathrm{2}\psi\right]_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{0}} =−\infty \\ $$

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