Question Number 34298 by math khazana by abdo last updated on 03/May/18
![let A_ = ∫_0 ^∞ e^(−x) cos[x]dx and B = ∫_0 ^∞ e^(−[x]) cosxdx calculate A−B .](Q34298.png)
$${let}\:{A}_{\:} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{x}} {cos}\left[{x}\right]{dx}\:\:{and}\:{B}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−\left[{x}\right]} \:{cosxdx} \\ $$$${calculate}\:{A}−{B}\:\:. \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 08/May/18
![A =lim_(n→+∞) Σ_(k=0) ^(n−1) ∫_k ^(k+1) e^(−x) cosk dx but Σ_(k=0) ^(n−1) ∫_k ^(k+1) e^(−x) cosk dx=Σ_(k=0) ^(n−1) cosk[−e^(−x) ]_k ^(k+1) = Σ_(k=0) ^(n−1) cosk ( e^(−k) −e^(−(k+1)) ) = Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) cosk −Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−(k+1)) cosk ⇒ A = Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk −Σ_(k=0) ^∞ e^(−(k+1)) cosk =Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk −e^(−1) Σ_(k=1) ^∞ e^(−k) cosk =Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk −e^(−1) (Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk −1) =(1−e^(−1) )Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk +(1/e) Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cosk =Re( Σ_(k=0) ^∞ e^(−k +ik) ) Σ_(k=0) ^∞ e^((−1+i)k) = Σ_(k=0) ^∞ (e^(−1+i) )^k = (1/(1−e^(−1+i) )) because ∣e^(−1+i) ∣<1 = (1/(1−e^(−1) (cos(1)+i sin1))) = (1/(1−e^(−1) cos1 −i e^(−1) sin(1))) =((1−e^(−1) cos(1) +i e^(−1) sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2 +e^(−2) sin^2 (1))) ⇒ Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) cos(k) = ((1−e^(−1) cos(1))/(1−2 e^(−1) cos(1) +e^(−2) )) ⇒ A =(((1−e^(−1) )(1−e^(−1) cos(1)))/(1−2 e^(−1) cos(1) +e^(−2) )) +(1/e) .](Q34559.png)
$${A}\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{x}} \:{cosk}\:{dx}\:{but} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{x}} \:{cosk}\:{dx}=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{cosk}\left[−{e}^{−{x}} \right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{cosk}\:\left(\:{e}^{−{k}} \:\:−{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \right) \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \:{cosk}\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \:{cosk} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:−{e}^{−\mathrm{1}} \sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−{e}^{−\mathrm{1}} \left(\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \right)\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{e}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:={Re}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}\:+{ik}} \right) \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left({e}^{−\mathrm{1}+{i}} \right)^{{k}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}+{i}} } \\ $$$${because}\:\mid{e}^{−\mathrm{1}+{i}} \mid<\mathrm{1} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \left({cos}\left(\mathrm{1}\right)+{i}\:{sin}\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\mathrm{1}\:−{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} {sin}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cos}\left({k}\right)\:=\:\:\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\:{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{e}^{−\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\frac{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{e}^{−\mathrm{2}} }\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{e}}\:. \\ $$
Commented by abdo mathsup 649 cc last updated on 08/May/18
![B =lim_(n→+∞) Σ_(k=0) ^(n−1) ∫_k ^(k+1) e^(−k) cosxdx =Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) [sinx]_k ^(k+1) =Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) ( sin(k+1)−sink) =Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) sin(k+1) −Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) sink =Σ_(k=1) ^n e^(−(k−1)) sink −Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) sink =e( Σ_(k=1) ^n e^(−k) sink) −Σ_(k=0) ^(n−1) e^(−k) sink ⇒ B = (e−1) Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) sink =(e−1) Im( Σ_(k=0) ^∞ e^(−k+ik) ) =(e−1) Im( Σ_(k=0) ^∞ e^((−1+i)k) ) Σ_(k=0) ^∞ e^((−1+i)k) = (1/(1−e^(−1 +i) )) = (1/(1−e^(−1) (cos1 +i sin(1)))) = (1/(1−e^(−1) cos(1) −ie^(−1) sin(1))) = ((1−e^(−1) cos(1) +i e^(−1) sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2 +e^(−2) sin^2 (1))) ⇒ B =(((e−1)e^(−1) sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2 + e^(−2) sin^2 (1))) so the value of A −B is known.](Q34582.png)
$${B}\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{cosxdx} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \left[{sinx}\right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:\:=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \left(\:{sin}\left({k}+\mathrm{1}\right)−{sink}\right) \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sin}\left({k}+\mathrm{1}\right)\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{e}^{−\left({k}−\mathrm{1}\right)} {sink}\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$={e}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{e}^{−{k}} \:{sink}\right)\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$\Rightarrow\:{B}\:=\:\left({e}−\mathrm{1}\right)\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$=\left({e}−\mathrm{1}\right)\:{Im}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}+{ik}} \right) \\ $$$$=\left({e}−\mathrm{1}\right)\:{Im}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} \right) \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}\:+{i}} } \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \left({cos}\mathrm{1}\:+{i}\:{sin}\left(\mathrm{1}\right)\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\:−{ie}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)}\:\:\Rightarrow \\ $$$${B}\:=\frac{\left({e}−\mathrm{1}\right){e}^{−\mathrm{1}} {sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+\:{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$${so}\:{the}\:{value}\:{of}\:{A}\:−{B}\:{is}\:{known}. \\ $$