Question Number 3460 by prakash jain last updated on 14/Dec/15 | ||
$$\mathrm{If}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{convergent}\:\mathrm{and}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{b}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{convergent}. \\ $$ $$\mathrm{What}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sufficient}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that} \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \:\mathrm{converges}. \\ $$ $${a}_{{n}} ,\:{b}_{{n}} >\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented byYozzii last updated on 14/Dec/15 | ||
$${Let}\:{s}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \\ $$ $$\Rightarrow{e}^{{s}} ={e}^{\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } \\ $$ $${What}\:{is}\:{b}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{0}} \:? \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 13/Dec/15 | ||
$${a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} =\left({a}_{{n}} \right)^{{n}} ×\left({b}_{{n}} \right)^{\mathrm{1}/{n}} ,\:\mathrm{how}\:\mathrm{did}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{0}/\mathrm{0}? \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 14/Dec/15 | ||
$$\mathrm{Question}\:\mathrm{correctd}\:{n}\:\mathrm{should}\:\mathrm{start}\:\mathrm{from}\:\mathrm{1}. \\ $$ | ||
Commented byFilup last updated on 13/Dec/15 | ||
$$\mathrm{if}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{b}_{{n}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{Doesn}'\mathrm{t}\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{a}_{{n}} }{{b}_{{n}} }\:=\:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}? \\ $$ $$ \\ $$ $$\therefore{must}\:{be}\:{differentiable}? \\ $$ | ||
Commented byFilup last updated on 14/Dec/15 | ||
$${sorry},\:{i}\:{missread}\:{b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \:{as}\:{b}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \\ $$ $$ \\ $$ $${and}\:{i}\:{was}\:{reffering}\:{to}\:{how}\:{if} \\ $$ $${x}_{{n}} \:{converges},\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{x}_{{n}} =\mathrm{0}.\:\mathrm{if}\:\mathrm{i}\:\mathrm{am}\:\mathrm{not}\:\mathrm{mistaken} \\ $$ | ||
Commented by123456 last updated on 14/Dec/15 | ||
$$\mathrm{if}\:\mathrm{im}\:\mathrm{not}\:\mathrm{wrong}. \\ $$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{asking}\:\mathrm{for}\:\mathrm{sulficient}\:\mathrm{conditions}, \\ $$ $$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{a}_{{n}} =\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{only}\:\mathrm{a}\:\mathrm{necessary},\:\mathrm{but}\:\mathrm{not} \\ $$ $$\mathrm{sulficient}\:\left({a}_{{n}} =\mathrm{1}/{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{any}\:\mathrm{example}\right. \\ $$ $$\left.{a}_{{n}} \rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{as}\:{n}\rightarrow\infty,\:\mathrm{but}\:\Sigma{a}_{{n}} \:\mathrm{diverged}\right) \\ $$ | ||
Commented byYozzii last updated on 14/Dec/15 | ||
$${s}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \\ $$ $${e}^{{s}} ={e}^{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } \\ $$ $${e}^{{s}} ={e}^{{a}_{\mathrm{1}} {b}_{\mathrm{1}} } {e}^{{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {b}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} } {e}^{{a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{3}} {b}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} } {e}^{{a}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{4}} {b}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{4}} } .... \\ $$ $${e}^{{s}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\prod}}\left\{{e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } −\mathrm{1}+\mathrm{1}\right\} \\ $$ $${let}\:{g}_{{n}} ={e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } −\mathrm{1} \\ $$ $$\therefore\:{e}^{{s}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\prod}}\left({g}_{{n}} +\mathrm{1}\right) \\ $$ $${if}\:{e}^{{s}} \:{is}\:{defined},\:{the}\:{infinite}\:{product} \\ $$ $${on}\:{the}\:{rhs}\:{converges}.\:{If}\:{this}\:{is}\:{so}, \\ $$ $${then}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{g}_{{n}} \:{converges}.\: \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } −\mathrm{1}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } −\infty\: \\ $$ $${If}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{g}_{{n}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } =\mathrm{1} \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 14/Dec/15 | ||
$$\mathrm{Yes}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{asking}\:\mathrm{for}\:\mathrm{sufficient} \\ $$ $$\mathrm{condition}. \\ $$ | ||
Commented byYozzii last updated on 14/Dec/15 | ||
$${Yes}... \\ $$ | ||
Commented byprakash jain last updated on 14/Dec/15 | ||
$$\underset{{n}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}{e}^{{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} } =\mathrm{1}\:{if} \\ $$ $$\underset{{n}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}{a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{Since}\:{c}_{{n}} ={a}_{{n}} ^{{n}} {b}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{necessary}\:\mathrm{condition} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{c}_{{n}} =\mathrm{0},\:\mathrm{but}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{sufficient}. \\ $$ | ||