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Question Number 34760 by Tinkutara last updated on 10/May/18

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/May/18

$$\mathrm{Answer}\mathrm{in}\mathrm{more}\mathrm{technical}\mathrm{style}$$$$\bullet \mathrm{At}\mathrm{least}\mathrm{two}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{and}\mathrm{each}$$$$\mathrm{side}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{greater}\mathrm{than}4.$$$$\bullet \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{any}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{sides}>\mathrm{Third}\mathrm{side}.$$$$\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{triangles}\mathrm{with}\mathrm{integer}\mathrm{sides}\mathrm{are}$$$$(1,1,\mathrm{c})$$$$\mathrm{c}⩽4\wedge \mathrm{c}<1+1=2\Rightarrow \mathrm{c}<2$$$$\mathrm{c}=1\left(1\mathrm{triangle}\right)$$$$(2,2,\mathrm{c})$$$$\mathrm{c}⩽4\wedge \mathrm{c}<2+2=4\Rightarrow \mathrm{c}<4$$$$\mathrm{c}=1,2,3\left(3\mathrm{triangles}\right)$$$$(3,3,\mathrm{c})$$$$\mathrm{c}⩽4\wedge \mathrm{c}<3+3=6\Rightarrow \mathrm{c}⩽4$$$$\mathrm{c}=1,2,3,4\left(4\mathrm{triangles}\right)$$$$(4,4,\mathrm{c})$$$$\mathrm{c}⩽4\wedge \mathrm{c}<4+4=8\Rightarrow \mathrm{c}⩽4$$$$\mathrm{c}=1,2,3,4\left(4\mathrm{triangles}\right)$$$$\mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{required}\mathrm{triangles}$$$$=1+3+4+4=12\mathrm{triangles}.$$$$$$

Commented by Tinkutara last updated on 11/May/18

Thank you very much Sir! I got the answer. ��������

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 21/May/18

$$\mathrm{Solution}\mathrm{by}\mathrm{hint}\mathrm{given}\mathrm{in}\mathrm{question}.$$$$\bullet \mathrm{At}\mathrm{least}\mathrm{two}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{and}\mathrm{any}$$$$\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{greater}\mathrm{than}4.$$$$\bullet \mathrm{All}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{positive}\mathrm{integer}.$$$$\bullet \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{any}\mathrm{two}\mathrm{sides}>\mathrm{Third}\mathrm{side}.$$$$$$$$\mathrm{Let}\mathrm{p}⩽\mathrm{q}⩽\mathrm{r},\mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r}\mathrm{being}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{triangle}.$$$$\bullet \mathrm{For}\mathrm{a}\mathrm{fix}\mathrm{r},\underset{-}{\mathrm{r}+1⩽\mathrm{p}+\mathrm{q}⩽2\mathrm{r}}$$$$\mathrm{r}\mathrm{maybe}1,2,3,4$$$$\mathrm{r}=4,5⩽\mathrm{p}+\mathrm{q}⩽8$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=5:(1,4,4)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=6:(2,4,4)(3,3,4)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=7:(3,4,4)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=8:(4,4,4)--5\mathrm{triangles}$$$$\mathrm{r}=3,4⩽\mathrm{p}+\mathrm{q}⩽6$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=4:(1,3,3)(2,2,3)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=5:(2,3,3)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=6:(3,3,3)--4\mathrm{triangles}$$$$\mathrm{r}=2,3⩽\mathrm{p}+\mathrm{q}⩽4$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=3:(1,2,2)$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=4:(2,2,2)--2\mathrm{triangles}$$$$\mathrm{r}=1,2⩽\mathrm{p}+\mathrm{q}⩽2$$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=2:(1,1,1)--1\mathrm{triangle}$$$$\mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{triplets}\left(\mathrm{triangles}\right)=$$$$5+4+2+1=12$$

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