Question Number 35426 by Rio Mike last updated on 18/May/18
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:{x}\:{if}\:{the}\:{inverse} \\ $$$${of}\:{the}\:{matrix}\:\begin{pmatrix}{{x}+\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}}\end{pmatrix}\:{is} \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 19/May/18
$${the}\:{caracteristic}\:{polynom}\:{of}\:\:{A}\:{is} \\ $$$${det}\left({A}\:−{uI}\right)\:=\begin{vmatrix}{{x}+\mathrm{5}−{u}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}−{u}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\left({x}−{u}\right)\left({x}−{u}+\mathrm{5}\right)\:−\mathrm{14} \\ $$$$=\left({x}−{u}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}−\mathrm{5}{u}−\mathrm{14} \\ $$$$={u}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{x}\:{u}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}−\mathrm{5}{u}\:−\mathrm{14} \\ $$$$=\:{u}^{\mathrm{2}} \:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){u}\:\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}\:−\mathrm{14}\:\:{Cayley}\:{hamilton} \\ $$$${theorem}\:{give}\:{p}_{{c}} \left({A}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${A}^{\mathrm{2}} \:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){A}\:\:+\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}\:−\mathrm{14}\right){I}=\mathrm{0}\Rightarrow \\ $$$${A}^{\mathrm{2}} \:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){A}\:=\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}−\mathrm{14}\right){I}\:\Rightarrow \\ $$$${A}\left(\:{A}\:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){I}\right)=\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}\:−\mathrm{14}\right){I}\:\Rightarrow \\ $$$${A}.\frac{{A}\:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){I}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}{x}\:−\mathrm{14}}\:={I}\Rightarrow{A}\:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right){I}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{pmatrix}{{x}+\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}}\end{pmatrix}\:\:−\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}\end{pmatrix}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{pmatrix}{−{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{x}−\mathrm{5}}\end{pmatrix}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:{but}\:{that}\:{is}\:{impossible}\:\:{tbe} \\ $$$${value}\:{of}\:{x}\:{don}\:{t}\:{exist}\:.... \\ $$$$ \\ $$
Commented by abdo mathsup 649 cc last updated on 19/May/18
$${if}\:{A}^{−\mathrm{1}} \:=\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix}\:\:{is}\:{inverse}\:{of}\:{A}\:{we}\:{get} \\ $$$${A}.{A}^{−\mathrm{1}} =\:{I}\:\Rightarrow\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix}\:\:=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$${and}\:{this}\:{equality}\:{is}\:{impossible}\:... \\ $$
Answered by Rio Mike last updated on 19/May/18
$$\:{if}\:\:{the}\:{inverse}\:{of}\:{a}\:{matrix}\:{is}\: \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix}\:\:{the}\:{it}\:{is}\:{a}\:{singular}\:{matrix} \\ $$$${hence} \\ $$$${x}\left({x}+\mathrm{5}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{x}−\mathrm{14}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}{x}−\mathrm{14}=\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{7}\left({x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$