Question Number 36217 by Rio Mike last updated on 30/May/18 | ||
$$\mathrm{Suppose}\:{a}_{\mathrm{1}} ,...,{a}_{{n}} ,\mathrm{are}\:\mathrm{non}−\mathrm{negative} \\ $$ $$\mathrm{reals}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:{S}=\:{a}_{\mathrm{1}} +...+{a}_{{n}} < \\ $$ $${proof}\:{that}\: \\ $$ $$\mathrm{1}\:+\:\mathrm{S}\leqslant\:\left(\mathrm{1}\:+\:{a}_{\mathrm{1}} \right)._{...} .\left(\mathrm{1}+\:{a}_{{n}} \right)\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{s}} \\ $$ | ||
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 31/May/18 | ||
$$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} >\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{3}} \right)>\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} \\ $$ $$..... \\ $$ $$.....\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)....\left(\mathrm{1}+{a}_{{n}} \right)>\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +..+{a}_{{n}} \\ $$ $${when}\:{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +...+{a}_{{n}} ={S} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)..\left(\mathrm{1}+{a}_{{n}} \right)>\mathrm{1}+{S}\:{proved} \\ $$ $${contd} \\ $$ $${let}\:{s}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+{s}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}−{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}−\left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \right)+{a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−{s}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{1}+{s}_{\mathrm{2}} >\mathrm{1}−{s}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$ \\ $$ $${wait}\:{pls} \\ $$ | ||