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Question Number 37342 by math khazana by abdo last updated on 12/Jun/18 | ||
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}\:{x}^{{n}} \:\:\:{with}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}} }\:. \\ $$ | ||
Commented byprof Abdo imad last updated on 15/Jun/18 | ||
$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$ $${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$ $${b}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {x}^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$ $${c}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $${F}\left({x}\right)=\:\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$ $${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:={a}\:+\mathrm{1}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{a}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $${F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$ $${S}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right\}{x}^{{n}} \\ $$ $$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:{x}^{{n}} \:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:{x}^{{n}} \\ $$ $$\:+\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}{x}^{{n}} \:\:\:{let}\:{w}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}{x}^{{n}} \\ $$ $${w}^{'} \left({x}\right)=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−{x}\right)^{{n}} \:−\mathrm{1}\right\} \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\right\}=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\frac{−{x}}{\mathrm{1}+{x}} \\ $$ $$=\:\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\:\Rightarrow{w}\left({x}\right)=−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+{c}\:{butc}={w}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow{w}\left({x}\right)=\:−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right) \\ $$ $$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:{x}^{{n}} \:=\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:{x}^{{n}} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}{x}^{{n}} \:+\mathrm{1}\right\} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\right\}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$ $${let}\:{v}\left({x}\right)=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }{x}^{{n}} \\ $$ $${v}^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}{x}^{{n}} =−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$ $${v}\left({x}\right)=\:−\int{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:+\lambda \\ $$ $$=−\left\{\:{xln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)−\int\:\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}}{dx}\right\}\:+\lambda \\ $$ $$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+\int\:\:\frac{\mathrm{1}+{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}{dx}\:+\lambda \\ $$ $$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:\:+{x}\:−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+\lambda \\ $$ $$=\left({x}−\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+{x}+\lambda\:{but}\:\lambda={v}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$ $${v}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+{x}\:\Rightarrow \\ $$ $${S}\left({x}\right)={ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)−\mathrm{1}\right\} \\ $$ $$+\left({x}−\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+{x}\:\:\:\Rightarrow \\ $$ $${S}\left({x}\right)={x}\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:\:+{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$ $$=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:+\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}}{{x}}\:\:{with}\:−\mathrm{1}<{x}<\mathrm{1}\:{and} \\ $$ $${x}\neq\mathrm{0} \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byprof Abdo imad last updated on 15/Jun/18 | ||
$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}} }\:={S}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$ $$=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:\:+\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$ $$=\mathrm{2}.\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{2}.\left(\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||