Question Number 38464 by maxmathsup by imad last updated on 25/Jun/18 | ||
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \right)}{{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\:\:{with}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$ $${find}\:\:{f}\left({x}\right)\:{at}\:{a}\:{simple}\:{form}\:. \\ $$ | ||
Commented byabdo.msup.com last updated on 01/Jul/18 | ||
$${we}\:{have}\:{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−{u}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} {u}^{{n}} \\ $$ $$\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{u}_{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{u}^{{n}} }{{n}} \\ $$ $$\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \right)=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} {t}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \right)}{{t}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} {t}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} }{{n}}\:\Rightarrow \\ $$ $${f}\left({x}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} {t}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} }{{n}}\right\}{dt} \\ $$ $$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:{t}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} {dt} \\ $$ $$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$ $$\frac{{f}\left({x}\right)}{\mathrm{2}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$ $$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right){x}^{\mathrm{2}{n}} \\ $$ $$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\:{but} \\ $$ $$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$ $${let}\:{w}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$ $${w}\left({x}\right)={x}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\:={x}\varphi\left({x}\right) \\ $$ $$\varphi^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} =\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left({x}^{\mathrm{2}} \right)^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$ $$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left({x}^{\mathrm{2}} \right)^{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\varphi\left({x}\right)=\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:+{c} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\left(\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx}\:+{c} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\mid\:+{c}\:\:{but}\:{c}=\varphi\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$ $${w}\left({x}\right)=\frac{{x}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\mid\Rightarrow \\ $$ $$\frac{{f}\left({x}\right)}{\mathrm{2}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)−\frac{{x}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\mid\:\Rightarrow \\ $$ $${f}\left({x}\right)=−{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)−\frac{{x}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\mid\:. \\ $$ $$ \\ $$ | ||