Question Number 39971 by math2018 last updated on 14/Jul/18
$${a}>\mathrm{0},{b}>\mathrm{0}, \\ $$ $${What}\:{is}\:{the}\:{minimum}\:{value}\:{of} \\ $$ $$\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{a}+{b}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{ab}+\mathrm{1}}\:\:\:? \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 14/Jul/18
$$\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{{a}+{b}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{ab}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{{a}+{b}}={x}\left({say}\right) \\ $$ $${using}\:{AM}>{GM} \\ $$ $$\frac{{a}+{b}}{\mathrm{2}}>\sqrt{{ab}} \\ $$ $$ \\ $$ $$\frac{\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\frac{{a}+{b}}{\mathrm{2}}}+\frac{\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\frac{{ab}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}{\frac{{a}+{b}}{\mathrm{2}}}<\frac{\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\sqrt{{ab}}}+\frac{\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\sqrt{{ab}}}+\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}{\sqrt{{ab}}}\rightarrow{y}\left({say}\right) \\ $$ $${x}<\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}} \\ $$ $${x}<\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}} \\ $$ $${x}<\frac{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}×\mathrm{2}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}} \\ $$ $${using}\:\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}>\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} }\:\: \\ $$ $$\frac{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}×\mathrm{2}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}>\frac{\mathrm{2}{ab}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}\rightarrow{z}\left({say}\right) \\ $$ $${y}>\frac{{ab}+\mathrm{1}}{\sqrt{{ab}}} \\ $$ $${y}>\frac{\frac{{ab}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}}{\sqrt{{ab}}}\rightarrow{z} \\ $$ $$ \\ $$ $$\frac{\frac{{ab}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}}{\sqrt{{ab}}}>\frac{\sqrt{{ab}}\:×\mathrm{2}}{\sqrt{{ab}}} \\ $$ $${so}\:{z}>\mathrm{2} \\ $$ $${given}\:{expression}\:{assumed}\:{to}\:{be}\:{x} \\ $$ $${x}<{y} \\ $$ $${y}>{z} \\ $$ $${z}>\mathrm{2} \\ $$ $${i}\:{can}\:{not}\:{co}\:{relate}\:{between}\:{x}\:{and}\:{z} \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$
Commented bymath2018 last updated on 15/Jul/18
$${Thank}\:{you}\:{very}\:{much}! \\ $$
Answered by ajfour last updated on 14/Jul/18
$$\:{f}\left({a},{b}\right)=\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{a}+{b}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{ab}+\mathrm{1}} \\ $$ $$\:<\:\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}\:\:=\:\frac{\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{ab}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}} \\ $$ $$\:\:\:=\frac{\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{ab}}}\:+\sqrt{{ab}}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{ab}}} \\ $$ $$\:\:{the}\:{above}\:{expression}\:{has}\:{a} \\ $$ $${minimum}\:{of}\:{value}\:{equal}\:{to}\:\mathrm{2} \\ $$ $${for}\:\:\:{a}={b}=\mathrm{1} \\ $$ $${hence}\:\:\:{f}_{{min}} \left({a},{b}\right)\:\leqslant\:\mathrm{2}\:\:. \\ $$ $$ \\ $$
Commented bymath2018 last updated on 15/Jul/18
$${Thank}\:{you}\:{Sir}! \\ $$ $$ \\ $$
Answered by math2018 last updated on 15/Jul/18
$$\mathrm{1}°\:{a}+{b}\geqslant{ab}+\mathrm{1} \\ $$ $$\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{a}+{b}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{ab}+\mathrm{1}}\geqslant\frac{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{{a}+{b}}\geqslant\frac{\mathrm{2}{a}+\mathrm{2}{b}}{{a}+{b}}=\mathrm{2}; \\ $$ $$\mathrm{2}°\:{a}+{b}<{ab}+\mathrm{1} \\ $$ $$\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{a}+{b}}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{ab}+\mathrm{1}}>\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{ab}+\mathrm{1}}\geqslant\frac{\mathrm{2}{ab}+\mathrm{2}}{{ab}+\mathrm{1}}=\mathrm{2} \\ $$ $${hence}\:{the}\:{minimum}\:{value}\:{is}\:\mathrm{2}. \\ $$