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Question Number 40067 by abdo mathsup 649 cc last updated on 15/Jul/18 | ||
$${let}\:\:{S}_{{n}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}} \\ $$ $$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{S}_{{n}} \:{interms}\:{of}\:{H}_{{n}} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}} \\ $$ $$\left.\mathrm{3}\right)\:{let}\:{W}_{{n}} =\:\sum_{\mathrm{1}\leqslant{i}<{j}\leqslant{n}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}+{j}} }{{i}.{j}} \\ $$ $${prove}\:{that}\:\left({W}_{{n}} \right)\:{is}\:{convergent}\:{and}\:{calculste}\:{its} \\ $$ $${limit}. \\ $$ | ||
Commented byabdo mathsup 649 cc last updated on 17/Jul/18 | ||
$${S}_{{n}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{1}{and}\:{k}=\mathrm{2}{p}} ^{{n}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:\:\:+\sum_{{k}=\mathrm{1}\:{and}\:{k}=\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}} \\ $$ $$=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}}\:\:\:\:−\:\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}}\:\:{but}\: \\ $$ $$\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]} \\ $$ $$\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]+\mathrm{1}} \\ $$ $$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+.....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]+\mathrm{1}} \\ $$ $$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:−....−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \\ $$ $$={H}_{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]+\mathrm{1}} \:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\:\:\:\:\Rightarrow \\ $$ $${S}_{{n}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]} \:\:−{H}_{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]+\mathrm{1}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{we}\:{have}\:{S}_{\mathrm{2}{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}−\mathrm{1}} \:\:−{H}_{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$ $${S}_{\mathrm{2}{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\:{ln}\left({n}\right)\:+\gamma\:\:+{ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:+\gamma\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right\} \\ $$ $$−{ln}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)−\gamma\:\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$ $$={ln}\left(\frac{\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −{n}}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\right)\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:\Rightarrow{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:{S}_{\mathrm{2}{n}} \:=\:−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ $${also} \\ $$ $${S}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}} \:\:\:−{H}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{n}} \\ $$ $$=\:{H}_{{n}} \:−{H}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} =\:{ln}\left({n}\right)\:+\gamma\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:−{ln}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−\gamma\:−{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$ $$={ln}\left(\frac{{n}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)\:+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:\:\Rightarrow{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:{S}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \:=\:−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ $${from}\:{that}\:{we}\:{can}\:{conclude}\:{that}\: \\ $$ $${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:{S}_{{n}} =−{ln}\left(\mathrm{2}\right). \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byabdo mathsup 649 cc last updated on 17/Jul/18 | ||
$$\left.\mathrm{3}\right)\:{we}\:{have}\:{S}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:=\left(\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:\:\:+\mathrm{2}\:\:\sum_{\mathrm{1}\leqslant{i}<{j}\leqslant{n}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{j}} }{{i}.{j}} \\ $$ $$=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{2}{W}_{{n}} \:\:\Rightarrow\:\mathrm{2}{W}_{{n}} ={S}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:\:−\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\Rightarrow\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{W}_{{n}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\left(−{ln}\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\left({ln}\left(\mathrm{2}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)\:. \\ $$ | ||