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Question Number 41174 by Tawa1 last updated on 02/Aug/18

Answered by MJS last updated on 03/Aug/18

∫e^(xsin x +cos x) (cos^2  x −((sin x)/x)−((cos x)/x^2 ))dx=  ∫e^(xsin x +cos x) cos^2  x dx−∫((e^(xsin x +cos x) sin x)/x)dx−∫((e^(xsin x +cos x) cos x)/x^2 )dx  now the great trick:       ∫((e^(xsin x +cos x) cos x)/x^2 )dx=              ∫f′g=fg−∫fg′            f′=(1/x^2 ) ⇒ f=−(1/x)            g=e^(xsin x +cos x) cos x ⇒ g′=xe^(xsin x +cos x) cos^2  x −e^(xsin x +cos x) sin x                   =−(1/x)e^(xsin x +cos x) cos x −∫(1/x^2 )(xe^(xsin x +cos x) cos^2  x −e^(xsin x +cos x) sin x)dx    ⇒ the searched integral is  ((e^(xsin x +cos x) cos x)/x)+C

$$\int\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{{x}}−\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right){dx}= \\ $$$$\int\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dx}−\int\frac{\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{sin}\:{x}}{{x}}{dx}−\int\frac{\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{the}\:\mathrm{great}\:\mathrm{trick}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\int\frac{\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int{f}'{g}={fg}−\int{fg}' \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{f}'=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:{f}=−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{g}=\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}\:{x}\:\Rightarrow\:{g}'={x}\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}\:{x}\:−\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\left({x}\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{sin}\:{x}\right){dx} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{searched}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is} \\ $$$$\frac{\mathrm{e}^{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \mathrm{cos}\:{x}}{{x}}+{C} \\ $$

Commented by Tawa1 last updated on 03/Aug/18

God bless you sir

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

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