Question Number 42793 by maxmathsup by imad last updated on 02/Sep/18 | ||
$${find}\:{f}\left({a}\right)=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dt}}{\left({a}^{\mathrm{2}} \:+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }\:\:\:{with}\:{a}>\mathrm{0} \\ $$ | ||
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 04/Sep/18 | ||
$${t}={atan}\alpha\:\:{dt}={asec}^{\mathrm{2}} \alpha{d}\alpha \\ $$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \frac{{asec}^{\mathrm{2}} \alpha{d}\alpha}{\left\{{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{tan}^{\mathrm{2}} \alpha\right)\right\}^{\mathrm{3}} } \\ $$ $$\int_{\mathrm{0}\:} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \frac{{asec}^{\mathrm{2}} \alpha{d}\alpha}{{a}^{\mathrm{6}} {sec}^{\mathrm{6}} \alpha} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{5}} }\int_{\mathrm{0}} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \left(\frac{\mathrm{1}+{cos}\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} {d}\alpha \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{5}} }\int_{\mathrm{0}} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \mathrm{1}+\mathrm{2}{cos}\mathrm{2}\alpha+\frac{\mathrm{1}+{cos}\mathrm{4}\alpha}{\mathrm{2}}\:{d}\alpha \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{a}^{\mathrm{5}} }\int_{\mathrm{0}} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \:\:\mathrm{3}+\mathrm{4}{cos}\mathrm{2}\alpha+{cos}\mathrm{4}\alpha\:{d}\alpha \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{a}^{\mathrm{5}} }\mid\left(\mathrm{3}\alpha+\frac{\mathrm{4}{sin}\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{2}}+\frac{{sin}\mathrm{4}\alpha}{\mathrm{4}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)} \\ $$ $${now}\:{tan}\alpha=\frac{\mathrm{1}}{{a}} \\ $$ $${sin}\mathrm{2}\alpha=\frac{\mathrm{2}{tan}\alpha}{\mathrm{1}+{tan}^{\mathrm{2}} \alpha}=\frac{\frac{\mathrm{2}}{{a}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }}=\frac{\mathrm{2}{a}}{\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $${sin}\mathrm{4}\alpha=\mathrm{2}{sin}\mathrm{2}\alpha.{cos}\mathrm{2}\alpha \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{2}{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$ $$\:\:=\frac{\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\frac{\mathrm{4}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{a}^{\mathrm{3}} }}{\frac{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{4}} }}=\frac{\mathrm{4}{a}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ $${now}\:{put}\:{the}\:{value}... \\ $$ $${contd}\:\:{so}\:{the}\:{ans}\:{is} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{a}^{\mathrm{5}} }\mid\mathrm{3}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\mathrm{2}.\frac{\mathrm{2}{a}}{\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}.\frac{\mathrm{4}{a}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mid \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{a}^{\mathrm{5}} }\left\{\mathrm{3}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\frac{\mathrm{4}{a}}{\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{{a}^{\mathrm{3}} −{a}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$ | ||