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Question Number 43001 by abdo.msup.com last updated on 06/Sep/18 | ||
$${prove}\:{that}\:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)>\mathrm{1}+\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$ | ||
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 06/Sep/18 | ||
$${LHS} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)..\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$ $${let}\:{analysis} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{1}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)= \\ $$ $$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}}\right) \\ $$ $$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}×\mathrm{3}} \\ $$ $$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}×\mathrm{3}} \\ $$ $${thus}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)>\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)>\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$ $${so}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)>\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:\:{proved} \\ $$ $$ \\ $$ | ||