Question Number 43629 by peter frank last updated on 12/Sep/18
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{infinite}\:\mathrm{GP}\:\mathrm{be}\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{squares}\:\mathrm{of}\:\mathrm{its}\:\mathrm{term}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{3}, \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{its}\:\mathrm{first}\:\mathrm{term}\:\mathrm{and}\:\mathrm{common}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{are} \\ $$
Answered by $@ty@m last updated on 13/Sep/18
$${ATQ}, \\ $$$${a}+{ar}+{ar}^{\mathrm{2}} +.....=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}}{\mathrm{1}−{r}}=\mathrm{3}\:...\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${Again}, \\ $$$$\left({a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({ar}\right)^{\mathrm{2}} +\left({ar}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left({ar}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +......=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{r}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{4}} +{r}^{\mathrm{6}} +....\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{r}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:...\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${from}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\&\left(\mathrm{2}\right), \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{1}−{r}}=\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{r}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{1}+{r}\:...\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$${from}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\&\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}+{r}}{\mathrm{1}−{r}}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{Ans}. \\ $$$${and}\:{from}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:{Ans}. \\ $$