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Question Number 4500 by FilupSmith last updated on 02/Feb/16

lim_(n→∞) ((n!)/n^n )=L Solve for L

$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={L} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:{L} \\ $$

Commented by Yozzii last updated on 02/Feb/16

ln((n!)/n^n )=lnn!−nlnn=Σ_(i=1) ^n lni−Σ_(i=1) ^n lnn ln((n!)/n^n )=Σ_(i=1) ^n ln(i/n)=ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+...+ln(n/n) ln((n!)/n^n )=ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+...+ln(1−(1/n)) ∴ lnL=lim_(n→∞) ln((n!)/n^n )=lim_(n→∞) (ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+...+ln(1−(1/n))) Let u=1/n⇒u→0^+ as n→+∞. ∴lnL=lim_(u→0^+ ) (lnu+ln2u+ln3u+...+ln(1−2u)+ln(1−u)) lnL=−∞−∞−∞−∞+...+0+0+0=−∞ ∴L=e^(−∞) =0

$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={lnn}!−{nlnn}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{lni}−\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{lnn} \\ $$$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\frac{{i}}{{n}}={ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+...+{ln}\frac{{n}}{{n}} \\ $$$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+...+{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$\therefore\:{lnL}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left({ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+...+{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right) \\ $$$${Let}\:{u}=\mathrm{1}/{n}\Rightarrow{u}\rightarrow\mathrm{0}^{+} \:{as}\:{n}\rightarrow+\infty. \\ $$$$\therefore{lnL}=\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left({lnu}+{ln}\mathrm{2}{u}+{ln}\mathrm{3}{u}+...+{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{u}\right)+{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right) \\ $$$${lnL}=−\infty−\infty−\infty−\infty+...+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}=−\infty \\ $$$$\therefore{L}={e}^{−\infty} =\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Answered by prakash jain last updated on 02/Feb/16

((n!)/n^n )=((2∙...∙n)/n^n )≤(n^(n−1) /n^n )=(1/n) lim_(n→∞) (1/n)=0 ((n!)/(n!))≥0 hence lim_(n→∞) ((n!)/n^n )=0

$$\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\frac{\mathrm{2}\centerdot...\centerdot{n}}{{n}^{{n}} }\leqslant\frac{{n}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{n}!}{{n}!}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{hence} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\mathrm{0} \\ $$

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