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Question Number 4696 by love math last updated on 22/Feb/16

5×4^x +2×25^x <7×10^x

$$\mathrm{5}×\mathrm{4}^{{x}} +\mathrm{2}×\mathrm{25}^{{x}} <\mathrm{7}×\mathrm{10}^{{x}} \\ $$

Commented byprakash jain last updated on 22/Feb/16

5×2^(2x) +2×5^(2x) <7×2^x ×5^x 2^(2x−1) +5^(2x−1) −7×2^(x−1) ×5^(x−1) <0 2^x 2^(x−1) +5^x ∙5^(x−1) −2^x 5^(x−1) −5^x 2^(x−1) <0 5^(x−1) (5^x −2^x )−2^(x−1) (5^x −2^x )<0 (5^x −2^x )(5^(x−1) −2^(x−1) )<0 x<0 both factors −ve x=0⇒5^x −2^x =0 x=0⇒5^(x−1) −2^(x−1) =0 x>1⇒both factors +ve 0<x<1: check 5^x −2^x >0 5^x −2^x >0 5^(x−1) −2^(x−1) <0 5^(x−1) <2^(x−1) 2∙5^x <5∙2^x 2xlog 5<5xlog 2 xlog 25<xlog 32 solution set 0<x<1

$$\mathrm{5}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}×\mathrm{5}^{\mathrm{2}{x}} <\mathrm{7}×\mathrm{2}^{{x}} ×\mathrm{5}^{{x}} \\ $$ $$\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{7}×\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} ×\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} <\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{2}^{{x}} \mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{5}^{{x}} \centerdot\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{x}} \mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{5}^{{x}} \mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} <\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} \right)−\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} \right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} \right)\left(\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \right)<\mathrm{0} \\ $$ $${x}<\mathrm{0}\:{both}\:{factors}\:−{ve} \\ $$ $${x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{0} \\ $$ $${x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$ $${x}>\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{both}\:\mathrm{factors}\:+\mathrm{ve} \\ $$ $$\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1}:\:\mathrm{check}\:\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} >\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} >\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} <\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{5}^{{x}−\mathrm{1}} <\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \\ $$ $$\mathrm{2}\centerdot\mathrm{5}^{{x}} <\mathrm{5}\centerdot\mathrm{2}^{{x}} \\ $$ $$\mathrm{2}{x}\mathrm{log}\:\mathrm{5}<\mathrm{5}{x}\mathrm{log}\:\mathrm{2} \\ $$ $${x}\mathrm{log}\:\mathrm{25}<{x}\mathrm{log}\:\mathrm{32} \\ $$ $${solution}\:{set}\:\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1} \\ $$

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