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Question Number 49800 by maxmathsup by imad last updated on 10/Dec/18

find lim_(x→0) (((√(1+x+x^2 ))−(√(1+2x+x^3 )))/x^2 )

$${find}\:{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+{x}^{\mathrm{3}} }}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$

Answered by afachri last updated on 12/Dec/18

lim_(x→0) (((√(x^2 + x + 1 )) − (√(x^3 + 2x + 1 )))/x^2 ) . (((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )))/((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )))) lim_(x→0) (((x^2 + x + 1) − (x^3 + 2x + 1))/(x^2 ((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )) ))) lim_(x→0) ((−x^3 + x^2 − x )/(x^2 ((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )) ))) lim_(x→0) ((x^2 (−x + 1 − (1/x)))/(x^2 ((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )) ))) lim_(x→0) ((−x + 1 − (1/x) )/((√(x^2 + x + 1 )) + (√(x^3 + 2x + 1 )))) = ∞

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:−\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:\:.\:\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\:\:\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\right)\:−\:\left({x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\right)} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\:\:\frac{−{x}^{\mathrm{3}} +\:{x}^{\mathrm{2}} −\:{x}\:}{{x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\right)} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \left(−{x}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\right)} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{−{x}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\:{x}\:+\:\mathrm{1}\:}\:\:+\:\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{1}\:}}\:\:=\:\:\infty \\ $$$$ \\ $$

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