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Question Number 54953 by gunawan last updated on 15/Feb/19

The characteristic polynomial matrices [(1,(−2),3),(4,5,(−6)),((−7),8,9) ]is...

$$\mathrm{The}\:\mathrm{characteristic}\:\mathrm{polynomial} \\ $$$$\mathrm{matrices}\:\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{−\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{4}}&{\mathrm{5}}&{−\mathrm{6}}\\{−\mathrm{7}}&{\mathrm{8}}&{\mathrm{9}}\end{bmatrix}\mathrm{is}... \\ $$

Commented by maxmathsup by imad last updated on 16/Feb/19

det(A−xI) = determinant (((1−x −2 3)),((4 5−x −6))) ∣−7 8−x 9 ∣ =(1−x)( 9(5−x)+6(8−x))−4(−18−3(8−x))−7(12−3(5−x)) =(1−x)(45−9x +48−6x) −4(−18−24+3x)−7(12−15 +3x) =(1−x)(93 −15x) −4(−42+3x) −7(−3 +3x) =93−15x −93x +15x^2 + 168 −12x +21 −21x =15x^2 −(93+27)x +93 +168 +21 =25x^2 −120 x + 114 +168 =25x^2 −120x +282

$${det}\left({A}−{xI}\right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}−{x}\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{6}}\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid−\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{8}−{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9}\:\:\:\mid \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\:\mathrm{9}\left(\mathrm{5}−{x}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{8}−{x}\right)\right)−\mathrm{4}\left(−\mathrm{18}−\mathrm{3}\left(\mathrm{8}−{x}\right)\right)−\mathrm{7}\left(\mathrm{12}−\mathrm{3}\left(\mathrm{5}−{x}\right)\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{45}−\mathrm{9}{x}\:+\mathrm{48}−\mathrm{6}{x}\right)\:−\mathrm{4}\left(−\mathrm{18}−\mathrm{24}+\mathrm{3}{x}\right)−\mathrm{7}\left(\mathrm{12}−\mathrm{15}\:+\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{93}\:−\mathrm{15}{x}\right)\:−\mathrm{4}\left(−\mathrm{42}+\mathrm{3}{x}\right)\:−\mathrm{7}\left(−\mathrm{3}\:+\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{93}−\mathrm{15}{x}\:−\mathrm{93}{x}\:+\mathrm{15}{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\mathrm{168}\:−\mathrm{12}{x}\:+\mathrm{21}\:−\mathrm{21}{x} \\ $$$$=\mathrm{15}{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:−\left(\mathrm{93}+\mathrm{27}\right){x}\:\:+\mathrm{93}\:+\mathrm{168}\:+\mathrm{21} \\ $$$$=\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{120}\:{x}\:\:\:+\:\mathrm{114}\:+\mathrm{168}\:=\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{120}{x}\:\:+\mathrm{282} \\ $$

Answered by kaivan.ahmadi last updated on 15/Feb/19

denomiate this matrices by A. f(x)=det(A−xI)= determinant (((1−x −2 3 )),((4 5−x −6)),((−7 8 9−x))) 2R_1 +R_2 and sarrus rule determinant (((1−x −2 3)),((6−2x 1−x 0)),((−7 8 9−x))) determinant (((1−x −2 3)),((6−2x 1−x 0)),((−7 8 9−x)))= [(1−x)^2 (9−x)+24(6−2x)]−[−21(1−x)−2(6−2x)(9−x)]= [(1−2x+x^2 )(9−x)+144−48x]−[21+21x−2(54−6x−18x+2x^2 ]= [9−x−18x+2x^2 +9x^2 −x^3 +144−48x]−[21+21x−108+48x−4x^2 ]= [−x^3 +11x^2 −67x+153]−[−4x^2 +69x−87]= −x^3 +15x^2 −136x+240

$${denomiate}\:{this}\:{matrices}\:{by}\:{A}. \\ $$$${f}\left({x}\right)={det}\left({A}−{xI}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:}\\{\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}−{x}\:\:\:\:\:−\mathrm{6}}\\{−\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{8}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9}−{x}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}} +{R}_{\mathrm{2}} \:{and}\:{sarrus}\:{rule} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{6}−\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{8}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9}−{x}}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{6}−\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{8}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9}−{x}}\end{vmatrix}= \\ $$$$\left[\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{9}−{x}\right)+\mathrm{24}\left(\mathrm{6}−\mathrm{2}{x}\right)\right]−\left[−\mathrm{21}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{6}−\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{9}−{x}\right)\right]= \\ $$$$\left[\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{9}−{x}\right)+\mathrm{144}−\mathrm{48}{x}\right]−\left[\mathrm{21}+\mathrm{21}{x}−\mathrm{2}\left(\mathrm{54}−\mathrm{6}{x}−\mathrm{18}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \right]=\right. \\ $$$$\left[\mathrm{9}−{x}−\mathrm{18}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{144}−\mathrm{48}{x}\right]−\left[\mathrm{21}+\mathrm{21}{x}−\mathrm{108}+\mathrm{48}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right]= \\ $$$$\left[−{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{11}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{67}{x}+\mathrm{153}\right]−\left[−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{69}{x}−\mathrm{87}\right]= \\ $$$$−{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{136}{x}+\mathrm{240} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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