Question Number 55316 by Kunal12588 last updated on 21/Feb/19
Commented by Kunal12588 last updated on 21/Feb/19
$${pls}\:{help}\:{me}\:{i}\:{found}\:\mathrm{2519}\:{but}\:{don}'{t}\:{know}\:{is}\:{this}\: \\ $$$${smallest}.\:{also}\:{it}\:{takes}\:\mathrm{2}\:{hrs}\:{for}\:{me} \\ $$$$\:{every}\:{answers}\:{are}\:{welcome} \\ $$
Answered by $@ty@m last updated on 21/Feb/19
$${General}\:{formula}\:{for}\:{such}\:{questions}: \\ $$$${Required}\:{number}= \\ $$$${LCM}\:{of}\:{divisors}−{common}\:{difference}\:{of} \\ $$$${divisor}\:\&\:{remainder} \\ $$$$=\mathrm{2520}−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{2519} \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 21/Feb/19
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 21/Feb/19
$${i}\:{think}\:{you}\:{are}\:{doing}\:{this} \\ $$$${n}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{3}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}=\mathrm{3}\left({x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{4}{x}_{\mathrm{3}} +\mathrm{3}=\mathrm{4}\left({x}_{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{5}{x}_{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{5}\left({x}_{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{6}{x}_{\mathrm{5}} +\mathrm{5}=\mathrm{6}\left({x}_{\mathrm{5}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{7}{x}_{\mathrm{6}} +\mathrm{6}=\mathrm{7}\left({x}_{\mathrm{6}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{8}{x}_{\mathrm{7}} +\mathrm{7}=\mathrm{8}\left({x}_{\mathrm{7}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{9}{x}_{\mathrm{8}} +\mathrm{8}=\mathrm{9}\left({x}_{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{9}=\mathrm{10}\left({x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${so},\:{n}\:=\:{multiple}\:{of}\:\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{8},\mathrm{9},\mathrm{10}\right)\:−\mathrm{1} \\ $$$${smallest}\:{no}. \\ $$$${n}={LCM}\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}...,\mathrm{9},\mathrm{10}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{2520}−\mathrm{1}=\mathrm{2519} \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 21/Feb/19
$${i}\:{actually}\:{do}\:{it}\:{like}\:{this}\:{quite}\:{long} \\ $$$${n}=\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{9}=\mathrm{9}{x}_{\mathrm{8}} +\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{9}{x}_{\mathrm{8}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$${after}\:{some}\:{algebra} \\ $$$$\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{8}\:\:{or}\:{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{3}{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{4}{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{6}\:\:{or}\:\mathrm{2}{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{5}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{5}{x}_{\mathrm{4}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{5}\:{or}\:\:{x}_{\mathrm{4}} =\mathrm{2}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{6}{x}_{\mathrm{5}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{4}\:\:{or}\:\mathrm{3}{x}_{\mathrm{5}} =\mathrm{5}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{7}{x}_{\mathrm{6}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{8}{x}_{\mathrm{7}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{2}\:\:{or}\:\mathrm{4}{x}_{\mathrm{7}} =\mathrm{5}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{9}{x}_{\mathrm{8}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$${after}\:{rearranging}\:{and}\:{reasoning} \\ $$$${like}\:{this}\:{one}\::− \\ $$$$\mathrm{7}{x}_{\mathrm{6}} =\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{3}=\mathrm{7}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{3}\left({x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}_{\mathrm{6}} ={x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{3}×\frac{{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\because\:{n}\:{is}\:{natural}\:{no}.\: \\ $$$$\therefore{x}_{\mathrm{6}} \in\mathbb{Z}\: \\ $$$$\therefore\:{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\:{is}\:{a}\:{multiple}\:{of}\:\mathrm{7} \\ $$$${so},\:{i}\:{get} \\ $$$${x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\:{is}\:{a}\:{multiple}\:{of}\:\:\mathrm{9},\mathrm{7}\:{and}\:\mathrm{4} \\ $$$${or}\:{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\:{is}\:{a}\:{multiple}\:{of}\:\mathrm{252} \\ $$$${lowest}\:{value}\:{of}\:{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{1}=\mathrm{252} \\ $$$${x}_{\mathrm{9}} =\mathrm{251} \\ $$$${now},\:{at}\:{last}\:{putting}\:{the}\:{value}\:{of}\:{x}_{\mathrm{9}} \:{in}\:{n}=\mathrm{10}{x}_{\mathrm{9}} +\mathrm{9} \\ $$$${n}=\mathrm{10}×\mathrm{251}+\mathrm{9}=\mathrm{2519} \\ $$
Commented by $@ty@m last updated on 21/Feb/19
$${I}\:{didn}'{t}\:{do}\:{any}\:{of}\:{the}\:{above} \\ $$$${calculations}. \\ $$$${I}\:{simply}\:{remember}\:{the}\:{formula} \\ $$$${given}\:{in}\:{Arithmetic}\:{book}\:{by} \\ $$$${R}.{S}.\:{Agarwal} \\ $$$${meant}\:{for}\:{preparation}\:{of}\:{competetive} \\ $$$${examination}. \\ $$$${You}'{d}\:{find}\:{many}\:{such}\:{useful} \\ $$$${formulae}\:\left({or}\:{tricks}\right)\:{there}. \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 22/Feb/19
$${great}\:{sir}.\:{thanks}\:{once}\:{more} \\ $$