Question Number 55846 by gunawan last updated on 05/Mar/19
$$\mathrm{If}\:{x},\:{y},\:{z}\:\mathrm{are}\:\mathrm{in}\:\mathrm{AP}.\:\mathrm{Then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{determinant} \\ $$$$\begin{vmatrix}{{a}+\mathrm{2}}&{{a}+\mathrm{3}}&{{a}+\mathrm{2}{x}}\\{{a}+\mathrm{3}}&{{a}+\mathrm{4}}&{{a}+\mathrm{2}{y}}\\{{a}+\mathrm{4}}&{{a}+\mathrm{5}}&{{a}+\mathrm{2}{z}}\end{vmatrix}\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by math1967 last updated on 05/Mar/19
![determinant (((a+2),(a+3),(a+2x)),((a+3−a−2),(a+4−a−3),(a+2y−a−2x)),((a+4−a−3),(a+5−a−4),(a+2z−a−2y)))R_2 ^′ →R_2 −R_(1 ) ,R_3 ^′ →R_3 −R_2 determinant (((a+2),(a+3),(a+2x)),(1,1,(2(y−x))),(1,1,(2(z−y)))) determinant (((a+2),(a+3),(a+2x)),(1,1,(2(y−x))),(1,1,(2(y−x))))∵x,y,z are inA.P∴y−x=z−y =0 ans [R_2 and R_3 identical]](Q55847.png)
$$\begin{vmatrix}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}&{\mathrm{a}+\mathrm{3}}&{\mathrm{a}+\mathrm{2x}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{2}}&{\mathrm{a}+\mathrm{4}−\mathrm{a}−\mathrm{3}}&{\mathrm{a}+\mathrm{2y}−\mathrm{a}−\mathrm{2x}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{4}−\mathrm{a}−\mathrm{3}}&{\mathrm{a}+\mathrm{5}−\mathrm{a}−\mathrm{4}}&{\mathrm{a}+\mathrm{2z}−\mathrm{a}−\mathrm{2y}}\end{vmatrix}\mathrm{R}_{\mathrm{2}} ^{'} \rightarrow\mathrm{R}_{\mathrm{2}} −\mathrm{R}_{\mathrm{1}\:} ,\mathrm{R}_{\mathrm{3}} ^{'} \rightarrow\mathrm{R}_{\mathrm{3}} −\mathrm{R}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}&{\mathrm{a}+\mathrm{3}}&{\mathrm{a}+\mathrm{2x}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}\left(\mathrm{z}−\mathrm{y}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}&{\mathrm{a}+\mathrm{3}}&{\mathrm{a}+\mathrm{2x}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)}\end{vmatrix}\because\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\:\mathrm{are}\:\mathrm{inA}.\mathrm{P}\therefore\mathrm{y}−\mathrm{x}=\mathrm{z}−\mathrm{y} \\ $$$$=\mathrm{0}\:\mathrm{ans}\:\:\:\:\:\:\left[\mathrm{R}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{R}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{identical}\right] \\ $$