Question Number 56419 by gunawan last updated on 16/Mar/19
$$\mathrm{Let}\:{a},\:{b},\:{c}\:\mathrm{be}\:\mathrm{in}\:\mathrm{AP}\:\mathrm{and}\:\mid{a}\mid<\mathrm{1},\:\mid{b}\mid<\mathrm{1},\:\mid{c}\mid<\mathrm{1}.\:\mathrm{If} \\ $$ $${x}\:\:=\:\:\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} +...\:\mathrm{to}\:\infty\: \\ $$ $${y}\:\:=\:\:\mathrm{1}+{b}+{b}^{\mathrm{2}} +...\:\mathrm{to}\:\infty\: \\ $$ $${z}\:\:=\:\:\mathrm{1}+{c}+{c}^{\mathrm{2}} +...\:\mathrm{to}\:\infty\:\: \\ $$ $$\mathrm{then}\:{x},\:{y},\:{z}\:\mathrm{are}\:\mathrm{in} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 16/Mar/19
$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}}\:\:{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}}\:\:\:{z}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}} \\ $$ $$\mathrm{1}−{a}=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rightarrow{a}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$ $${b}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{y}} \\ $$ $${c}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{z}} \\ $$ $$\mathrm{2}{b}={a}+{c} \\ $$ $$\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{z}} \\ $$ $$\frac{\mathrm{2}}{{y}}=\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{z}}\:\:{so}\:{x},{y}\:{and}\:{z}\:{in}\:{H}.{P} \\ $$