Question Number 56498 by kelly33 last updated on 17/Mar/19 | ||
$${It}\:{is}\:{known}\:{that}\:\mathrm{5}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}}.\:\:{cos}\alpha=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $${calculate}\:\:{sin}\mathrm{2}\alpha \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented bykelly33 last updated on 17/Mar/19 | ||
$${please}\:{help}\:{me} \\ $$ | ||
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 17/Mar/19 | ||
$${sin}\mathrm{2}\alpha=\mathrm{2}{sin}\alpha{cos}\alpha \\ $$ $$ \\ $$ $${ignoring}\:{sign}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{sin}\alpha=\frac{\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{4}} \\ $$ $${now}\:\:\:\mathrm{5}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}} \\ $$ $${so}\:\:\:\:\:\:\mathrm{10}\pi<\mathrm{2}\alpha<\mathrm{13}\pi \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{5}×\mathrm{2}\pi\right)<\mathrm{2}\alpha<\left(\mathrm{6}×\mathrm{2}\pi+\pi\right) \\ $$ $${so}\:\mathrm{2}\alpha\:{lies}\:{in}\:{second}\:{quadrant} \\ $$ $${so}\:{sin}\mathrm{2}\alpha=\mathrm{2}×\frac{\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\frac{\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{8}} \\ $$ $${i}\:{think}\:{question}\:{itself}\:{has}\:{some}\:{error}.. \\ $$ $$\:\:\:\boldsymbol{{it}}\:\boldsymbol{{shoud}}\:\boldsymbol{{be}}\:\mathrm{6}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Commented byMJS last updated on 17/Mar/19 | ||
$$\mathrm{cos}\:\alpha\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\:\alpha=\mathrm{2}\pi{n}\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\mathrm{5}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha\:=\frac{\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{8}} \\ $$ | ||
Commented bykelly33 last updated on 18/Mar/19 | ||
$$\alpha=\mathrm{2}\pi{n}\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+{arcsin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $${where}\:{did}\:{this}\:{formula}\:{come}\:{from}? \\ $$ | ||
Commented byMJS last updated on 19/Mar/19 | ||
$$\mathrm{arccos}\:\left(−{x}\right)\:=\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:{x}\right) \\ $$ $$\mathrm{this}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{clear}... \\ $$ $$\mathrm{but}\:\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{period}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}\pi \\ $$ $$\mathrm{cos}\:\alpha\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $$\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\mathrm{2}\pi{n}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}};\:{n}\in\mathbb{Z} \\ $$ $$\alpha+\mathrm{2}\pi{n}=\mathrm{arccos}\:\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\alpha+\mathrm{2}\pi{n}=\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\alpha=−\mathrm{2}\pi{n}\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:\mathrm{but}\:{n}\in\mathbb{Z}\:\Rightarrow \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{write} \\ $$ $$\alpha=\mathrm{2}\pi{n}\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ | ||
Commented bykelly33 last updated on 19/Mar/19 | ||
$${thank}\:{sr} \\ $$ | ||
Commented bykelly33 last updated on 19/Mar/19 | ||
$${Sorry},\:{you}\:{can}\:{explain}\:{how}\:{it}'{s}\:{here}... \\ $$ $$\mathrm{5}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $${come}\:{to}\:{the}\:{final}\:{result}? \\ $$ $$ \\ $$ $${And}\:{where}\:{this}\:{valued}\:{has}\:{emerged}? \\ $$ $$\alpha=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ | ||
Commented bykelly33 last updated on 19/Mar/19 | ||
$${Sorry},\:{you}\:{can}\:{explain}\:{how}\:{it}'{s}\:{here}... \\ $$ $$\mathrm{5}\pi<\alpha<\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\alpha=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $${come}\:{to}\:{the}\:{final}\:{result}? \\ $$ $$ \\ $$ $${And}\:{where}\:{this}\:{valued}\:{has}\:{emerged}? \\ $$ $$\alpha=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ | ||
Commented byMJS last updated on 19/Mar/19 | ||
$$\mathrm{general}\:\mathrm{result}: \\ $$ $$\alpha=\mathrm{2}\pi{n}\pm\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{must}\:\mathrm{test}\:\mathrm{which}\:{n}\in\mathbb{Z}\:\mathrm{makes}\:\alpha\:\mathrm{fit} \\ $$ $$\mathrm{into}\:\mathrm{the}\:\mathrm{interval}. \\ $$ $$\alpha_{{n}} ^{−} =\mathrm{2}\pi{n}−\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\alpha_{{n}} ^{+} =\mathrm{2}\pi{n}+\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\left.\right]\mathrm{5}\pi;\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{2}}\pi\left[\:\approx\:\right]\mathrm{15}.\mathrm{708};\:\mathrm{20}.\mathrm{420}\left[\right. \\ $$ $$\alpha_{\mathrm{3}} ^{−} \approx\mathrm{17}.\mathrm{026}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{to}\:\mathrm{fit} \\ $$ $$\Rightarrow\:\alpha=\mathrm{6}\pi−\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha\:=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{11}\pi−\mathrm{2arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:= \\ $$ $$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{because}\:\mathrm{of}\:\mathrm{period}\:\mathrm{2}\pi:\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{11}\pi−\theta\right)\:=\mathrm{sin}\:\theta\right] \\ $$ $$=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:= \\ $$ $$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta\:=\mathrm{2sin}\:\theta\:\mathrm{cos}\:\theta\right] \\ $$ $$=\mathrm{2}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)= \\ $$ $$=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\mathrm{cos}\:\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:= \\ $$ $$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{cos}\:\mathrm{arcsin}\:{t}\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{arcsin}\:{t}\:=\sqrt{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{8}} \\ $$ | ||