Question Number 572 by kth last updated on 29/Jan/15
$${xy}=\mathrm{6}\left({x}+{y}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{325} \\ $$$${x}=? \\ $$$${y}=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 29/Jan/15
$$\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{xy}=\mathrm{325}+\mathrm{2}\centerdot\mathrm{6}\left({x}+{y}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\left({x}+{y}\right)−\mathrm{325}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}\left({x}+{y}\right)+\mathrm{13}\left({x}+{y}\right)−\mathrm{325}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}+{y}−\mathrm{25}\right)\left({x}+{y}+\mathrm{13}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{25}\:\mathrm{or}\:{x}+{y}=−\mathrm{13} \\ $$$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{xy}=\mathrm{325}−\mathrm{12}\left({x}+{y}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{I}:\:{x}+{y}=\mathrm{25} \\ $$$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{325}−\mathrm{150}=\mathrm{25},\:{x}−{y}=\pm\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{II}:\:{x}+{y}=−\mathrm{13} \\ $$$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{325}−\mathrm{12}\left(−\mathrm{13}\right)=\mathrm{325}+\mathrm{156}=\mathrm{481} \\ $$$${x}−{y}=\pm\sqrt{\mathrm{481}} \\ $$$$\mathrm{Solutions} \\ $$$$\mathrm{1}.\:{x}+{y}=\mathrm{25},\:{x}−{y}=\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{15},\:{y}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{2}.\:{x}+{y}=\mathrm{25},\:{x}−{y}=−\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{10},\:{y}=\mathrm{15} \\ $$$$\mathrm{3}.\:{x}+{y}=−\mathrm{13},\:{x}−{y}=\sqrt{\mathrm{481}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=\frac{−\mathrm{13}+\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{2}},\:{y}=\frac{−\mathrm{13}−\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}.\:{x}+{y}=−\mathrm{13},\:{x}−{y}=−\sqrt{\mathrm{481}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=\frac{−\mathrm{13}−\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{2}},\:{y}=\frac{−\mathrm{13}+\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{2}} \\ $$