Question Number 5834 by sanusihammed last updated on 31/May/16
$${Find}\:{all}\:{positive}\:{integers}\:{n}\:{for}\:{which}\:{there}\:{exist} \\ $$$${non}−{negative}\:{integer}\:.\:{a}_{\mathrm{1}\:} {a}_{\mathrm{2}} \:{a}_{\mathrm{3}} \:.......\:{a}_{{n}} \:.\:{Such}\:{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{\mathrm{1}} } }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{\mathrm{2}} } }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{\mathrm{3}} } }\:+\:....\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{{n}} } }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{a}_{\mathrm{1}} } }\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{a}_{\mathrm{2}} } }\:+\:....\:+\:\frac{{n}}{\mathrm{3}^{{a}_{{n}} } }\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${Please}\:{help}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 31/May/16
$${n}=\mathrm{1}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{\mathrm{1}} } }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{a}_{\mathrm{1}} } }\Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}. \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{{i}} } }=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{3}^{{a}_{{o}} } } \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{a}_{{i}} } }−\frac{{i}}{\mathrm{3}^{{a}_{{i}} } }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{3}^{{a}_{{i}} } −{i}\mathrm{2}^{{a}_{{i}} } }{\mathrm{6}^{{a}_{{i}} } }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{6}^{\underset{{l}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{l}} } \left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{3}^{{a}_{{i}} } −{i}\mathrm{2}^{{a}_{{i}} } }{\mathrm{6}{a}^{{i}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left\{\mathrm{6}^{\underset{{l}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{l}} −{a}_{{i}} } \left(\mathrm{3}^{{a}_{{i}} } −{i}\mathrm{2}^{{a}_{{i}} } \right)\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Commented by sanusihammed last updated on 31/May/16
$${I}\:{appreciate} \\ $$