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Question Number 5963 by Ashis last updated on 07/Jun/16
$$\boldsymbol{\mathrm{for}}\:\boldsymbol{\mathrm{what}}\:\boldsymbol{\mathrm{value}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{k}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{system}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{equation}}\:\boldsymbol{\mathrm{has}}\:\boldsymbol{\mathrm{no}}\:\boldsymbol{\mathrm{solution}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{y}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\boldsymbol{\mathrm{ky}}+\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{y}}+\mathrm{7}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 07/Jun/16
$${k}=\mathrm{3}? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Jun/16
$$\mathrm{D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}}&{{k}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{7}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{1}}&{{k}−\mathrm{2}}&{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}−{k}}&{\mathrm{2}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{R2}\rightarrow\mathrm{R2}−\mathrm{R1},\mathrm{R3}\rightarrow\mathrm{R3}−\mathrm{R2}\right) \\ $$$$\mathrm{D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}}&{{k}−\mathrm{4}}&{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{2}−{k}}&{−\mathrm{1}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{R2}\rightarrow\mathrm{R2}−\mathrm{R1},\mathrm{R3}\rightarrow\mathrm{R3}−\mathrm{R1}\right) \\ $$$$=−\left({k}−\mathrm{4}\right)+\left(\mathrm{2}−{k}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$=−{k}+\mathrm{4}+\mathrm{2}+−{k}=\mathrm{0}\Rightarrow{k}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{itself}\:\mathrm{does}\:\mathrm{not}\:\mathrm{guarantee}\:\mathrm{that}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{we}\:\mathrm{also}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{check}\:\mathrm{if} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{D}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{D}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{or}\:\mathrm{D}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{non}\:\mathrm{zero} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\:\mathrm{if}\:\mathrm{D}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{D}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{D}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{all}\:\mathrm{zero}\:\mathrm{then}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{that}\:\mathrm{no} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{exist}\:\mathrm{by}\:\mathrm{solving}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}. \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{7}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{7}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{2}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{3}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$${x}+\mathrm{2}{y}+\mathrm{3}{z}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}{y}+\mathrm{6}{z}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}+\mathrm{5}{z}=\mathrm{1} \\ $$$${from}\:{the}\:{above}\:{two}\:{y}+{z}=\mathrm{1}\Rightarrow{y}=\mathrm{1}−{z} \\ $$$${x}=\mathrm{1}−\mathrm{2}{y}−\mathrm{3}{z}\Rightarrow{x}=\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{z}\right)−\mathrm{3}{z}=−\mathrm{1}−\mathrm{5}{z} \\ $$$$\mathrm{3}{x}+\mathrm{4}{y}+\mathrm{7}{z}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{5}{z}\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−{z}\right)+\mathrm{7}{z}=\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{3}−\mathrm{15}{z}+\mathrm{4}−\mathrm{4}{z}+\mathrm{7}{z}=\mathrm{1}\Rightarrow{z}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\mathrm{1},{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${check}\:{solution}\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{0}\right){for}\:{k}=\mathrm{3} \\ $$$$−\mathrm{1}+\mathrm{2}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{eqn}\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\mathrm{2}+\mathrm{3}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{eqn}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$−\mathrm{3}+\mathrm{4}=\mathrm{1}\left(\mathrm{eqn}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$${k}=\mathrm{3}\:\mathrm{gives}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{solution}. \\ $$
Answered by Ashis last updated on 07/Jun/16
$${yes}\:\mathrm{3}\:{but}\:{how}\:? \\ $$