Question Number 60586 by Mr X pcx last updated on 22/May/19
$${find}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 23/May/19
![let A =∫_0 ^1 ((ln^2 x)/((1−x^2 )^2 ))dx we have for ∣x∣<1 Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) and Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) = (1/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ n x^(2n−2) =(1/((1−x^2 )^2 )) ⇒ A =∫_0 ^1 (Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−2) )ln^2 x dx =Σ_(n=1) ^∞ n ∫_0 ^1 x^(n−2) ln^2 x dx =Σ_(n=1) ^∞ nw_n w_n =∫_0 ^1 x^(n−2) ln^2 x dx by parts u^′ =x^(n−2) and v =ln^2 x ⇒ w_n =[(1/(n−1))x^(n−1) ln^2 x]_0 ^1 −∫_0 ^1 (1/(n−1))x^(n−1) ((2lnx)/x)dx =−(2/(n−1)) ∫_0 ^1 x^(n−2) ln(x)dx by parts again u^′ =x^(n−2) and v =lnx ⇒ ∫_0 ^1 x^(n−2) ln(x)dx =[(1/(n−1))x^(n−1) lnx]_0 ^1 −∫_0 ^1 (1/(n−1)) x^(n−1) (dx/x) =−(1/(n−1)) ∫_0 ^1 x^(n−2) dx =−(1/(n−1))[(1/(n−1)) x^(n−1) ]_0 ^1 =−(1/((n−1)^2 )) ⇒w_n =(2/((n−1)^3 )) A =∫_0 ^1 (1+Σ_(n=2) ^∞ nx^(n−2) )ln^2 x dx =∫_0 ^1 ln^2 x dx +Σ_(n=2) ^∞ n ∫_0 ^1 x^(n−2) ln^2 xdx =∫_0 ^1 ln^2 x dx +Σ_(n=2) ^∞ n(2/((n−1)^3 )) =∫_0 ^1 ln^2 x dx + 2 Σ_(n=2) ^∞ (n/((n−1)^3 )) Σ_(n=2) ^∞ (n/((n−1)^3 )) =Σ_(n=1) ^∞ ((n+1)/n^3 ) =Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) +Σ_(n=1) ^∞ (1/n^3 ) =(π^2 /6) +ξ(3) ∫_0 ^1 ln^2 x dx =_(ln(x)=−t) ∫_(+∞) ^0 t^2 (−e^(−t) )dt =∫_0 ^∞ t^2 e^(−t) dt =[−t^2 e^(−t) ]_0 ^(+∞) −∫_0 ^(+∞) 2t (−e^(−t) )dt = 2 ∫_0 ^∞ t e^(−t) dt =2{ [−t e^(−t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (−e^(−t) )dt} =2 ∫_0 ^∞ e^(−t) dt =2[−e^(−t) ]_0 ^(+∞) =2 ⇒ A = 2 +(π^2 /3) +2ξ(3)](Q60629.png)
$${let}\:\:{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{ln}^{\mathrm{2}} {x}}{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }{dx}\:\:\:{we}\:{have}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:\:{and} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{n}\:{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}−\mathrm{2}} \right){ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {n}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{2}} {ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {nw}_{{n}} \\ $$$${w}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{2}} {ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:\:\:\:{by}\:{parts}\:{u}^{'} \:={x}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:\:{and}\:{v}\:={ln}^{\mathrm{2}} {x}\:\Rightarrow \\ $$$${w}_{{n}} =\left[\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} {x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}{lnx}}{{x}}{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{{n}−\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:{x}^{{n}−\mathrm{2}} \:{ln}\left({x}\right){dx}\:\:\:\:{by}\:{parts}\:{again}\:\:{u}^{'} \:={x}^{{n}−\mathrm{2}} \:{and}\:{v}\:={lnx}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{2}} {ln}\left({x}\right){dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:{lnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{{dx}}{{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{2}} {dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\left[\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{w}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}−\mathrm{2}} \right){ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:+\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:{n}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{2}} {ln}^{\mathrm{2}} {xdx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:+\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} {n}\frac{\mathrm{2}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:\:+\:\mathrm{2}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{ln}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:=_{{ln}\left({x}\right)=−{t}} \:\:\:\:\:\:\:\int_{+\infty} ^{\mathrm{0}} \:{t}^{\mathrm{2}} \:\left(−{e}^{−{t}} \right){dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{t}^{\mathrm{2}} {e}^{−{t}} \:{dt} \\ $$$$=\left[−{t}^{\mathrm{2}} {e}^{−{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:\mathrm{2}{t}\:\left(−{e}^{−{t}} \right){dt}\:=\:\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{t}\:{e}^{−{t}} \:{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{\:\left[−{t}\:{e}^{−{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(−{e}^{−{t}} \right){dt}\right\}\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{t}} \:{dt}\:=\mathrm{2}\left[−{e}^{−{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:=\mathrm{2}\:\Rightarrow\: \\ $$$${A}\:=\:\mathrm{2}\:+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}\xi\left(\mathrm{3}\right)\: \\ $$