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Question Number 60948 by Kunal12588 last updated on 27/May/19

Commented by Prithwish sen last updated on 27/May/19

$$\mathrm{Let}\mathrm{A}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{origin}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{complex}\mathrm{plane}$$$$\mathrm{and},$$$$\mathrm{AB}=2\mathrm{a}$$$$\mathrm{BC}=2\mathrm{b}$$$$\mathrm{CD}=2\mathrm{c}$$$$\mathrm{AD}=2\mathrm{d},\mathrm{where}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\in \mathrm{C}\left(\mathrm{complex}\mathrm{number}\right)$$$$\because \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{then},$$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$$$$\mathrm{Now},$$$$\mathrm{P}=\mathrm{a}+\mathrm{ia}$$$$\mathrm{Q}=2\mathrm{a}+(1+\mathrm{i})\mathrm{b}$$$$\mathrm{R}=2\mathrm{a}+2\mathrm{b}+(1+\mathrm{i})\mathrm{c}$$$$\mathrm{S}=2\mathrm{a}+2\mathrm{b}+2\mathrm{c}+(1+\mathrm{i})\mathrm{d}$$$$\mathrm{Now}\mathrm{let}\mathrm{the}\mathrm{complex}\mathrm{number},$$$${\mathrm{z}}_1=\mathrm{S}-\mathrm{Q}=(\mathrm{b}+2\mathrm{c}+\mathrm{d})+\mathrm{i}(\mathrm{d}-\mathrm{b})$$$${\mathrm{z}}_2=\mathrm{R}-\mathrm{P}=(\mathrm{a}+2\mathrm{b}+\mathrm{c})+\mathrm{i}(\mathrm{c}-\mathrm{a})$$$$\mathrm{Now}{\mathrm{z}}_1+{\mathrm{iz}}_2=(\mathrm{b}+2\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{c}+\mathrm{a})+\mathrm{i}(\mathrm{d}-\mathrm{b}+\mathrm{a}+2\mathrm{b}+\mathrm{c})$$$$=(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})+\mathrm{i}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})=0$$$$\mathrm{i}.\mathrm{e}{\mathrm{z}}_1\mathrm{\perp }{\mathrm{z}}_2$$$$\mathrm{or},\mathrm{PR}\mathrm{\perp }\mathrm{SQ}\mathrm{Proved}.$$$$$$$$$$$$$$

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