Question Number 61232 by maxmathsup by imad last updated on 30/May/19
![let U_n =∫_1 ^(+∞) (([nx]−[(n−1)x])/x^3 ) dx with n≥1 1) find U_n interms of n 2) find lim_(n→+∞) U_n 3) study the serie Σ_(n=1) ^∞ U_n](Q61232.png)
$${let}\:{U}_{{n}} =\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\:\frac{\left[{nx}\right]−\left[\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:\:{with}\:{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:{U}_{{n}} \:{interms}\:{of}\:{n} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{U}_{{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:{study}\:{the}\:{serie}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{U}_{{n}} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 01/Jun/19
![1) we have U_n =∫_1 ^(+∞) (([nx])/x^3 )dx −∫_1 ^(+∞) (([(n−1)x])/x^3 ) dx ∫_1 ^(+∞) (([nx])/x^3 ) dx =_(nx=t) n^3 ∫_n ^(+∞) (([t])/t^3 ) (dt/n) =n^2 ∫_n ^(+∞) (([t])/t^3 ) dt =n^2 Σ_(k=n) ^(+∞) ∫_k ^(k+1) (k/t^3 ) dt =n^2 Σ_(k=n) ^∞ k ∫_k ^(k+1) t^(−3) dt =n^2 Σ_(k=n) ^∞ k[−(1/2) t^(−2) ]_k ^(k+1) =−(n^2 /2) Σ_(k=n) ^∞ k{ (1/((k+1)^2 )) −(1/k^2 )} =−(n^2 /2){ Σ_(k=n) ^∞ (k/((k+1)^2 )) −Σ_(k=n) ^∞ (1/k)} we have Σ_(k=n) ^∞ (k/((k+1)^2 )) =Σ_(k=n+1) ^∞ ((k−1)/k^2 ) =Σ_(k=n+1) ^∞ (1/k) −Σ_(k=n+1) ^∞ (1/k^2 ) ⇒ ∫_1 ^(+∞) (([nx])/x^3 ) dx =−(n^2 /2){ Σ_(k=n) ^∞ (1/k) −(1/(n+1)) −Σ_(k=n+1) ^∞ (1/k^2 ) −Σ_(k=n) ^∞ (1/k)} =(n^2 /2) Σ_(k=n+1) ^∞ (1/k^2 ) + (n^2 /(2(n+1))) ∫_1 ^∞ (([(n−1)x])/x^3 ) dx =_((n−1)x =t) (n−1)^3 ∫_(n−1) ^(+∞) (([t])/t^3 ) (dt/(n−1)) =(n−1)^2 ∫_(n−1) ^(+∞) (([t])/t^3 ) dt =(n−1)^2 Σ_(k=n−1) ^∞ ∫_k ^(k+1) (k/t^3 ) dt =(n−1)^2 Σ_(k=n−1) ^∞ k ∫_k ^(k+1) (dt/t^(−3) ) =(n−1)^2 Σ_(k=n−1) ^∞ k[−(1/(2t^2 ))]_m ^(k+1) =−(((n−1)^2 )/2) Σ_(k=n−1) ^∞ k{ (1/((k+1)^2 )) −(1/k^2 )} =−(((n−1)^2 )/2){ Σ_(k=n−1) ^∞ (k/((k+1)^2 )) −Σ_(k=n−1) ^∞ (1/k)} Σ_(k=n−1) ^∞ (k/((k+1)^2 )) =Σ_(k=n) ^∞ ((k−1)/k^2 ) =Σ_(k=n) ^∞ (1/k) −Σ_(k=n) ^∞ (1/k^2 ) ⇒ ∫_1 ^∞ (([(n−1)x])/x^3 ) dx =−(((n−1)^2 )/2){ Σ_(k=n) ^∞ (1/k) −Σ_(k=n) ^∞ (1/k^2 ) −(1/(n−1)) −Σ_(k=n) ^∞ (1/k)} =−(((n−1)^2 )/2){−Σ_(k=n) ^∞ (1/k^2 ) −(1/(n−1)) } =(((n−1)^2 )/2) Σ_(k=n) ^∞ (1/k^2 ) +((n−1)/2) ⇒ U_n =(n^2 /2) Σ_(k=n+1) ^∞ (1/k^2 ) +(n^2 /(2(n+1))) −(((n−1)^2 )/2) Σ_(k=n) ^∞ (1/k^2 ) −((n−1)/2) .](Q61383.png)
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{we}\:{have}\:{U}_{{n}} =\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[{nx}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }{dx}\:−\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\:\frac{\left[{nx}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=_{{nx}={t}} \:\:\:\:\:{n}^{\mathrm{3}} \int_{{n}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[{t}\right]}{{t}^{\mathrm{3}} }\:\frac{{dt}}{{n}}\:={n}^{\mathrm{2}} \:\int_{{n}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[{t}\right]}{{t}^{\mathrm{3}} }\:{dt} \\ $$$$={n}^{\mathrm{2}} \:\sum_{{k}={n}} ^{+\infty} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:\:\frac{{k}}{{t}^{\mathrm{3}} }\:{dt}\:={n}^{\mathrm{2}} \:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:{k}\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{t}^{−\mathrm{3}} {dt}\:={n}^{\mathrm{2}} \sum_{{k}={n}} ^{\infty} {k}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{t}^{−\mathrm{2}} \right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:{k}\left\{\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right\}\:=−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left\{\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\:\frac{{k}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right\} \\ $$$${we}\:{have}\:\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{{k}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:−\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[{nx}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left\{\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:−\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right\} \\ $$$$=\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left[\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=_{\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\:={t}} \:\:\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:\:\:\:\int_{{n}−\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\:\frac{\left[{t}\right]}{{t}^{\mathrm{3}} }\:\frac{{dt}}{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\int_{{n}−\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\frac{\left[{t}\right]}{{t}^{\mathrm{3}} }\:{dt}\:=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:\frac{{k}}{{t}^{\mathrm{3}} }\:{dt} \\ $$$$=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:{k}\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{{t}^{−\mathrm{3}} }\:=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:{k}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} }\right]_{{m}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:{k}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right\}\:=−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left\{\:\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{k}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right\} \\ $$$$\sum_{{k}={n}−\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{k}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:=\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\:\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left[\left({n}−\mathrm{1}\right){x}\right]}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left\{\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\:−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right\} \\ $$$$=−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left\{−\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\:\right\}\:=\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$${U}_{{n}} =\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 02/Jun/19
$${we}\:{have}\:\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}={n}+\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\xi\left(\mathrm{2}\right)−\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:\:{also}\:\:\sum_{{k}={n}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\xi\left(\mathrm{2}\right)−\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${U}_{{n}} =\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\:\xi\left(\mathrm{2}\right)−\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\right)−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\left(\xi\left(\mathrm{2}\right)−\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\right)\:+\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:−\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{2}\right)\:−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:\:+\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\xi\left(\mathrm{2}\right)\:−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:−\frac{{n}^{\mathrm{2}} \:+{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\xi_{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 02/Jun/19
$$\xi_{{n}} \left({x}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{x}} }\:\:\:\:{with}\:{x}>\mathrm{1}\: \\ $$