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Question Number 62023 by aliesam last updated on 14/Jun/19

Commented by MJS last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{French}\mathrm{pgcd}(x,y)\mathrm{is}\mathrm{English}\gcd (x,y)$$

Commented by MJS last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{the}\mathrm{highest}\mathrm{possible}\mathrm{value}\mathrm{of}\gcd (x,y)\mathrm{is}$$$$\min (x,y)$$$$\mathrm{for}y=x\mathrm{we}\mathrm{get}{x}^2+x=0\Rightarrow x=-1\vee x=0$$$$\mathrm{for}\gcd (x,y)=1\mathrm{we}\mathrm{get}x(1-y)+y^2+1=0$$$$\Rightarrow x=\frac{y^2+1}{y-1}\mathrm{and}\mathrm{I}{\mathrm{don}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{think}\mathrm{this}\mathrm{has}\mathrm{more}$$$$\mathrm{solutions}\mathrm{than}(x,y)=(5,2)\vee (5,3)$$$$\mathrm{for}\gcd (x,y)=x\mathrm{we}\mathrm{get}y=\frac{x^2\pm \sqrt{x^4-4x^3-4x}}{2}$$$$\mathrm{not}\mathrm{sure}\mathrm{if}{\mathrm{there}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{an}x\in \mathbb{N}\Rightarrow y\in \mathbb{N}$$$$\mathrm{for}\gcd (x,y)=y\mathrm{we}\mathrm{get}x=\frac{y^2}{y-1}\Rightarrow (x,y)=(4,2)$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Jun/19

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{sir}\mathrm{M}\stackrel{⧫}{\mathbb{J}}\mathrm{S}!$$

Answered by MJS last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{I}\mathrm{think}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{only}\mathrm{try}$$$$\mathrm{I}\mathrm{found}\mathrm{only}4\mathrm{pairs}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{Sir},\mathrm{can}\mathrm{we}\mathrm{determine}\mathrm{number}\mathrm{of}$$$$\mathrm{all}\mathrm{such}\mathrm{pairs}?$$

Commented by MJS last updated on 14/Jun/19

$${\mathrm{I}}^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{afraid}\mathrm{we}\mathrm{cannot}$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2+{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^3=\mathrm{xy}(\mathrm{x},\mathrm{y}):$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\gcd (\mathrm{x},\mathrm{y})$$$$\mathrm{Let}\frac{\mathrm{x}}{(\mathrm{x},\mathrm{y})}=\mathrm{a}\mathrm{\&}\frac{\mathrm{y}}{(\mathrm{x},\mathrm{y})}=\mathrm{b}$$$$\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})\mathrm{\&}\mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})$$$$\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})+{\left(\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})\right)}^2+{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^3$$$$=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y}).\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y}).(\mathrm{x},\mathrm{y})$$$$\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})+{\left(\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})\right)}^2+{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^3$$$$=\mathrm{ab}{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^3$$$$\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2(\mathrm{x},\mathrm{y})+{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^2=\mathrm{ab}{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^2$$$$(\mathrm{ab}-1){(\mathrm{x},\mathrm{y})}^2-{\mathrm{b}}^2(\mathrm{x},\mathrm{y})-\mathrm{a}=0$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{{\mathrm{b}}^2\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)}}{2(\mathrm{ab}-1)}$$$$\mathrm{a},\mathrm{b}\mathrm{are}\mathrm{such}\mathrm{that}(\mathrm{a},\mathrm{b})=1$$$$\mathrm{\&}{\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)\mathrm{is}\mathrm{perfect}\mathrm{square}$$$$\mathrm{\&}\frac{{\mathrm{b}}^2\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)}}{2(\mathrm{ab}-1)}\in \mathbb{N}$$$${}^{\bullet }\mathrm{Let}\mathrm{b}=1$$$${\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)={4\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+1$$$$={(2\mathrm{a}-1)}^2$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{{\mathrm{b}}^2\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)}}{2(\mathrm{ab}-1)}=\frac{1\pm (2\mathrm{a}-1)}{2(\mathrm{a}-1)}$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{1\pm 2\mathrm{a}\mp 1}{2\mathrm{a}-2}=\frac{2\mathrm{a}}{2\mathrm{a}-2}\mathrm{or}\frac{2-2\mathrm{a}}{2\mathrm{a}-2}$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}-1}\mathrm{or}-1$$$$\Rightarrow \mathrm{a}=2\Rightarrow (\mathrm{x},\mathrm{y})=2$$$$\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})=2\times 2=4$$$$\mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})=1\times 2=2$$$${}^{\bullet }\mathrm{Let}\mathrm{b}=2$$$$△={\mathrm{b}}^4+4\mathrm{a}(\mathrm{ab}-1)={8\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+16$$$$\mathrm{For}\mathrm{a}=5,△=8{\left(5\right)}^2-4\left(5\right)+16=196$$$$\mathrm{Perfect}\mathrm{square}$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{2^2\pm 14}{18}=1\mathrm{or}-\frac{5}{9}\left(\mathrm{descardable}\right)$$$$\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})=5\left(1\right)=5$$$$\mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})=2\left(1\right)=2$$$$\mathrm{Co}\cap \mathrm{tinue}$$

Commented by aliesam last updated on 14/Jun/19

$$goodblesssir$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Jun/19

$$\mathrm{AnOtherWay}$$$$\mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}:$$$$(\mathrm{ab}-1){(\mathrm{x},\mathrm{y})}^2-{\mathrm{b}}^2(\mathrm{x},\mathrm{y})-\mathrm{a}=0$$$${}^{\bullet }\mathrm{Let}(\mathrm{x},\mathrm{y})=1$$$$(\mathrm{ab}-1){\left(1\right)}^2-{\mathrm{b}}^2\left(1\right)-\mathrm{a}=0$$$$\mathrm{ab}-1-{\mathrm{b}}^2-\mathrm{a}=0$$$${\mathrm{b}}^2-\mathrm{ab}+\mathrm{a}+1$$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{a}\pm \sqrt{{\mathrm{a}}^2-4(\mathrm{a}+1)}}{2}$$$$\mathrm{For}\mathrm{a}=5,△=5^2-4(5+1)=1\left(\mathrm{perfect}\mathrm{square}\right)$$$$\mathrm{b}=\frac{5\pm 1}{2}=3\mathrm{or}2$$$$\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})=5\left(1\right)=5$$$$\mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})=3\left(1\right)=3\mathrm{or}2\left(1\right)=2$$$$\mathrm{x}=5,\mathrm{y}=3$$$$\mathrm{x}=5,\mathrm{y}=2$$$${}^{\bullet }\mathrm{Let}(\mathrm{x},\mathrm{y})=2$$$$(\mathrm{ab}-1){(\mathrm{x},\mathrm{y})}^2-{\mathrm{b}}^2(\mathrm{x},\mathrm{y})-\mathrm{a}=0$$$$(\mathrm{ab}-1){\left(2\right)}^2-{\mathrm{b}}^2\left(2\right)-\mathrm{a}=0$$$$4\mathrm{ab}-4-{2\mathrm{b}}^2-\mathrm{a}=0$$$${2\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ab}+\mathrm{a}+4=0$$$$\mathrm{b}=\frac{4\mathrm{a}\pm \sqrt{{16\mathrm{a}}^2-8(\mathrm{a}+4)}}{4}$$$$=\frac{4\mathrm{a}\pm \sqrt{{16\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}-32}}{4}$$$$=\frac{4\mathrm{a}\pm 2\sqrt{2({2\mathrm{a}}^2-\mathrm{a}-4)}}{4}$$$$\mathrm{For}\mathrm{a}=2,△=2(2.2^2-2-4)=4\left(\mathrm{perfect}\mathrm{square}\right)$$$$\mathrm{b}=\frac{4\left(2\right)\pm 2\sqrt{4}}{4}=3,1$$$$\mathrm{x}=\mathrm{a}(\mathrm{x},\mathrm{y})=2\left(2\right)=4$$$$\mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})=3\left(2\right)=6\mathrm{or}1\left(2\right)=2$$$$\mathrm{x}=4,\mathrm{y}=6$$$$\mathrm{x}=4,\mathrm{y}=2$$$$$$$$$$

Commented by aliesam last updated on 14/Jun/19

$$thankssirbrilliantsol$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Jun/19

$${\mathrm{You}}^{\prime }\mathrm{re}\mathrm{welcome}\mathrm{sir}!$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Jun/19

$$\mathcal{E}xperimentally$$$$\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2+{(\mathrm{x},\mathrm{y})}^3=\mathrm{xy}(\mathrm{x},\mathrm{y})$$$${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}:\mathrm{prime}\mathrm{number}$$$$\mathrm{Let}$$$$\mathrm{x}={\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{a}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{a}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}⩾0$$$$\mathrm{y}={\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{b}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{b}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}⩾0$$$$(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{p}}_1^{\min ({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{b}}_1)}.{\mathrm{p}}_2^{\min ({\mathrm{a}}_2,{\mathrm{b}}_2)}...{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{\min ({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})}$$$$\mathrm{Let}\min ({\mathrm{a}}_{\mathrm{i}},{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}})={\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}$$$$\therefore (\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{k}}_1}.{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{k}}_2}....{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}}$$$${}^{\bullet }({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{a}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{a}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}})+{({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{b}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{b}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}})}^2$$$$+{({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{k}}_1}.{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{k}}_2}...{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}})}^3$$$$=$$$$({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{a}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{a}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}})({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{b}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{b}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}})({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{k}}_1}.{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{k}}_2}...{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}})$$$$$$$${}^{\bullet }({\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{a}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{a}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}})+({\mathrm{p}}_1^{{2\mathrm{b}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{2\mathrm{b}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{2\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}})$$$$+({\mathrm{p}}_1^{{3\mathrm{k}}_1}.{\mathrm{p}}_2^{{3\mathrm{k}}_2}...{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{3\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}})$$$$=$$$${\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{a}}_1+{\mathrm{b}}_1+{\mathrm{k}}_1}{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{b}}_2+{\mathrm{k}}_2}..{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}}$$$$$$$${\mathrm{C}}_{\mathrm{o}}{\mathrm{NT}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{ue}}$$

Commented by aliesam last updated on 15/Jun/19

$$youaregraetsirthankyou$$

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