Question Number 63907 by gunawan last updated on 11/Jul/19
$$\mathrm{The}\:\mathrm{coefficient}\:\mathrm{of}\:{x}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +...\right)^{−\mathrm{3}/\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{21}. \\ $$
Commented by gunawan last updated on 11/Jul/19
$$\mathrm{true}\:\mathrm{or}\:\mathrm{false} \\ $$
Answered by Hope last updated on 11/Jul/19
$${S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +... \\ $$$${Sx}=\:\:\:\:\:\:{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} +... \\ $$$${S}−{Sx}=\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +... \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$${S}=\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{−\mathrm{2}} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{−\mathrm{2}} \right\}^{\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$${so}\:{coefficient}\:{of}\:{x}^{\mathrm{5}} \:{is}\:{zero} \\ $$$${the}\:{given}\:{statement}\:{is}\:{false} \\ $$