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Question Number 64533 by naka3546 last updated on 19/Jul/19

Find  all  solutions  of  x  real  numbers  such  that  2x^2  − 7x + 6  =  15 ⌊(1/x)⌋⌊x⌋

$${Find}\:\:{all}\:\:{solutions}\:\:{of}\:\:{x}\:\:{real}\:\:{numbers}\:\:{such}\:\:{that} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{6}\:\:=\:\:\mathrm{15}\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\lfloor{x}\rfloor \\ $$

Answered by MJS last updated on 19/Jul/19

x=0 ⇒ ⌊(1/x)⌋ not defined    x=1 ⇒ no solution    (0<x<1 ⇒ ⌊x⌋=0)∨(x>1 ⇒ ⌊(1/x)⌋=0)       2x^2 −7x+6=0 ⇒ x=(3/2)∨x=2    x<0  ⌊(1/x)⌋⌊x⌋=f(x)    −1<x<0  n∈N∧n≥2: f(−(1/(n−1))<x≤−(1/n))=n  2x^2 −7x+6=15n ∧ x<0  x=(7/4)−((√(120n+1))/4)  −1<x<0 ⇒ (2/5)<n<1 ⇒ no n exists    x≤−1  n∈N^★ : f(−n≤x<−n+1)=n  2x^2 −7x+6=15n ∧ x<0  x=(7/4)−((√(120n+1))/4)  x≤−1 ⇒ n≥1    −n≤(7/4)−((√(120n+1))/4)<−n+1  4n+3<(√(120n+1))≤4n+7  (4n+3)^2 <120n+1≤(4n+7)^2   n^2 −6n+(1/2)<0≤n^2 −4n+3  n^2 −6n+(1/2)<0 ⇒ 1≤n≤5  0≤n^2 −4n+3 ⇒ n=1∨n≥3  ⇒ n=1∨3≤n≤5    x=(7/4)−((√(120n+1))/4)  n=1 ⇒ −1≤x<0 ⇒ x=−1  n=3 ⇒ −3≤x<−2 ⇒ x=−3  n=4 ⇒ −4≤x<−3 ⇒ x=(7/4)−((√(481))/4)  n=5 ⇒ −5≤x<−4 ⇒ x=(7/4)−((√(601))/4)

$${x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\:\mathrm{not}\:\mathrm{defined} \\ $$$$ \\ $$$${x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{0}\right)\vee\left({x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\vee{x}=\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$${x}<\mathrm{0} \\ $$$$\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\lfloor{x}\rfloor={f}\left({x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$−\mathrm{1}<{x}<\mathrm{0} \\ $$$${n}\in\mathbb{N}\wedge{n}\geqslant\mathrm{2}:\:{f}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}<{x}\leqslant−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)={n} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{15}{n}\:\wedge\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$−\mathrm{1}<{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}<{n}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:{n}\:\mathrm{exists} \\ $$$$ \\ $$$${x}\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$${n}\in\mathbb{N}^{\bigstar} :\:{f}\left(−{n}\leqslant{x}<−{n}+\mathrm{1}\right)={n} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{15}{n}\:\wedge\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}\leqslant−\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$−{n}\leqslant\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}<−{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}<\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{4}{n}+\mathrm{7} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} <\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}\leqslant\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{7}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\leqslant{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{n}+\mathrm{3} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{n}=\mathrm{1}\vee{n}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:{n}=\mathrm{1}\vee\mathrm{3}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:−\mathrm{3}\leqslant{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\:−\mathrm{4}\leqslant{x}<−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${n}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\:−\mathrm{5}\leqslant{x}<−\mathrm{4}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{601}}}{\mathrm{4}} \\ $$

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