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Question Number 64955 by Tony Lin last updated on 23/Jul/19

prove that Σ_(k=1) ^n k∙(((k+1)!)/2^(k+1) )=(((n+2)!)/2^(n+1) )−1

$${prove}\:{that}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\centerdot\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} }=\frac{\left({n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }−\mathrm{1} \\ $$

Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 23/Jul/19

Σ_(k=1) ^n k.(((k+1)!)/2^(k+1) )=Σ_(k=1) ^n (k+2−2)(((k+1)!)/2^(k+1) ) =Σ_(k=1) ^n [(k+2)(((k+1)!)/2^(k+1) ) −2.(((k+1)!)/2^(k+1) )] =Σ_(k=1) ^n (((k+2)!)/2^(k+1) ) −Σ_(k=1) ^n (((k+1)!)/2^k ) =Σ_(k=2) ^(n+1) (((k+1)!)/2^k ) −(((2!)/2^1 )+Σ_(k=2)

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}.\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} }=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\right)\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\left({k}+\mathrm{2}\right)\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} }\:−\mathrm{2}.\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} }\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({k}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} }\:\:−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}} }\:\:\:−\left(\frac{\mathrm{2}!}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\sum}\right. \\ $$

Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 23/Jul/19

=(Σ_(k=2) ^n (((k+1)!)/2^k ) + (((n+2)!)/2^(n+1) ) ) − (1+Σ_(k=2) ^n (((k+1)!)/2^k )) =(((n+2)!)/2^(n+1) ) − 1

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}} }\:+\:\frac{\left({n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\:\right)\:\:−\:\left(\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{k}} }\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\:\:−\:\mathrm{1} \\ $$

Commented by Tony Lin last updated on 23/Jul/19

thanks sir

$${thanks}\:{sir} \\ $$

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