Question Number 65472 by Masumsiddiqui399@gmail.com last updated on 30/Jul/19
![solve lim_(x→0) (([(2+x)^n −2^n ])/x)](Q65472.png)
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:{solve}\:\: \\ $$$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left[\left(\mathrm{2}+{x}\right)^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \right]}{{x}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/19
$${let}\:{A}\left({x}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}+{x}\right)^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} }{{x}}\:\Rightarrow{A}\left({x}\right)\:=\frac{\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \mathrm{2}^{{n}−{k}} {x}^{{k}} −\mathrm{2}^{{n}} }{{x}} \\ $$$$=\frac{\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \mathrm{2}^{{n}−{k}} }{{x}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\mathrm{2}^{{n}−{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:{C}_{{n}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:+{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:{x}\:+{C}_{{n}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} \:{x}^{\mathrm{2}} \:+....+{C}_{{n}} ^{{n}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {A}\left({x}\right)\:={n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:. \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 30/Jul/19
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{lim}}\frac{\mid\mathrm{2}^{{n}} +\underset{\mathrm{1}\:\:} {\overset{{n}} {{c}}x}\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} +.......{x}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \mid}{{x}} \\ $$$$\:\overset{{n}} {\:}{c}_{\mathrm{1}} \mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 30/Jul/19
$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{n}\left(\mathrm{2}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}} \\ $$$$={n}\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$